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题文
如图，已知反比例函数 和一次函数 的图象相交于第一象限内的点A，且点A的横坐标为1。过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1。
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若一次函数的图象与x轴相交于点C，求线段AC的长度；
（3）直接写出：当 ＞ ＞0时，x的取值范围；
（4）在y轴上是否存在一点p，使△PAO为等腰三角形，若存在，请直接写出p点坐标，若不存在，请说明理由。（要求至少写两个） |
题型：解答题 难度：中档
答案
试题分析：（1）根据反比例函数的k的几何意义即可求得反比例函数的解析式，从而可以求得点A的坐标，再根据点A在 图象上即可求得一次函数的解析式；
（2）把 时代入 即可求得点C的坐标，再根据勾股定理求解即可；
（3）找到第一象限中反比例函数的图象在一次函数的图象上方的部分对应的x值的范围即可；
（4）根据函数图象上的点的坐标的特征结合等腰三角形的性质求解即可.
（1）∵
∴
∵经过第一象限
∴
∴
当 时代入 得
∴A（1，2）
∵A（1，2）在图象上
∴ ，解得
∴；
（2）当时代入得
∴C（－1，0）
在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=2，BC=2
∴AC＝
（3）由图可知：当 时，＞＞0时；
（4）存在点 ，使△PAO为等腰三角形
 （OA的垂直平分线与 轴的交点）等等.
点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大. |
据专家权威分析，试题“如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于第一象限内的点A，且..”主要考查你对 反比例函数的定义，反比例函数的图像，反比例函数的性质，求反比例函数的解析式及反比例函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
反比例函数的定义反比例函数的图像反比例函数的性质求反比例函数的解析式及反比例函数的应用
考点名称：反比例函数的定义 考点名称：反比例函数的图像 考点名称：反比例函数的性质 考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用
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；（3）
（k是常数，k≠0）叫做反比例函数，自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数值的取值范围也是一切非零实数。 
，所以反比例函数可以写成
的形式，自变量x的次数为-1； 
，因此判定两个变量是否成反比例关系，应看是否能写成反比例函数的形式，即两个变量的积是不是一个常数。
（k≠0），图像上一点P（x,y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积
。过反比例函数过一点，作垂线，三角形的面积为
。
存在两个交点，若设2点的横坐标分别为x1,x2，那么这两个交点与原点连线和两点之间的连线所构成的三角形面积为
，反比例函数的性质主要研究它的图象的位置和函数值的增减情况，列表归纳如下：
中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入