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题文
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．
（1）当m=2时，求点B的坐标；
（2）求DE的长？
（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？ |
题型：解答题 难度：中档
答案
| （1）点B的坐标为（0，2）；（2）DE=4；（3）m的值为8或-8．. |
试题分析：（1）将m=2代入原式，得到二次函数的顶点式，据此即可求出B点的坐标；
（2）延长EA，交y轴于点F，证出△AFC≌△AED，进而证出△ABF∽△DAE，利用相似三角形的性质，求出DE=4；
（3）①根据点A和点B的坐标，得到 ， ，将 代入，即可求出二次函数的表达式；
②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，然后分（如图1）和（图2）两种情况解答．
试题解析：（1）当m=2时，y= （x-2）2+1，
把x=0代入y=（x-2）2+1，得：y=2，
∴点B的坐标为（0，2）．
（2）延长EA，交y轴于点F，
∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE，
∴△AFC≌△AED，
∴AF=AE，
∵点A（m，-m2+m），点B（0，m），
∴AF=AE=|m|，BF=m-（-m2+m）=m2，
∵∠ABF=90°-∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°，
∴△ABF∽△DAE，
∴ ，
即： ，
∴DE=4．
（3）①∵点A的坐标为（m，-m2+m），
∴点D的坐标为（2m，-m2+m+4），
∴x=2m，y=-m2+m+4，
∴y=-?( )2++4，
∴所求函数的解析式为：y=- x2+ +4，
②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，
（Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1），
点P的横坐标为3m，点P的纵坐标为：（-m2+m+4）-（m2）=- m2+m+4，
把P（3m，-m2+m+4）的坐标代入y=-x2++4得：-m2+m+4=-×（3m）2+×（3m）+4，
解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8．
（Ⅱ）当四边形ABPD为平行四边形时（如图2），
点P的横坐标为m，点P的纵坐标为：（-m2+m+4）+（m2）=m+4，
把P（m，m+4）的坐标代入y=-x2++4得：
m+4=-m2+m+4，
解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=-8，
综上所述：m的值为8或-8．
考点:二次函数综合题． |
据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为A，与y轴的交点为B..”主要考查你对 反比例函数的定义，反比例函数的图像，反比例函数的性质，求反比例函数的解析式及反比例函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
反比例函数的定义反比例函数的图像反比例函数的性质求反比例函数的解析式及反比例函数的应用
考点名称：反比例函数的定义 考点名称：反比例函数的图像 考点名称：反比例函数的性质 考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用
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（k是常数，k≠0）叫做反比例函数，自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数值的取值范围也是一切非零实数。 
，所以反比例函数可以写成
的形式，自变量x的次数为-1； 
，因此判定两个变量是否成反比例关系，应看是否能写成反比例函数的形式，即两个变量的积是不是一个常数。
（k≠0），图像上一点P（x,y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积
。过反比例函数过一点，作垂线，三角形的面积为
。
存在两个交点，若设2点的横坐标分别为x1,x2，那么这两个交点与原点连线和两点之间的连线所构成的三角形面积为
，反比例函数的性质主要研究它的图象的位置和函数值的增减情况，列表归纳如下：
中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入