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题文
如图，已知C、D是双曲线y= 在第一象线内的分支的两点，直线CD分别交x轴、y轴于A、B两点，设C、D的坐标分别是（x1，y1）、（x2，y2）连结OC、OD． |
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（1）求证：y1＜OC＜ ；
（2）若∠BOC=∠AOD=α，作DM⊥x轴于M， = ，OC=OD= ，求直线CD的解析式；
（3）在（2）的条件下，双曲线上是否存在一点P，使得S△POD=S△POC？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． |
题型：解答题 难度：中档
答案
解：（1）证明：过点C作CG⊥x轴，垂足为G，则CG=y1，OG=x1．
∵点C（x1，y1）在双曲线y=  上，
∴x1= 
∵在Rt△OCG中，CG＜OC＜CG+OG，
∴y1＜OC＜y1+ 
（2）解：在Rt△GCO中，∠GCO=∠BOC=α，
 ，即 ，y1=3x1
∵OC2=OG2+CG2，OC= ，
∴10=x12+y12，即10=x12+（3x1）2
解之，得x1=±1．
∵负值不合题意，
∴x1=1，y1=3．
∴点C的坐标为（1，3）．
∵点C在双曲线 上，
∴ ，即m=3
∴双曲线的解析式为
过点D作DH⊥x轴，垂足为H．
则DH=y2，OH=x2
在Rt△ODH中， ，即x2=3y2
又y2=  ，则3y22=3．
解之，得y2=±1．
∵负值不合题意，
∴y2=1，x2=3
∴点D的坐标为（3，1）
设直线CD的解析式为y=kx+b．
设直线CD的解析式为y=kx+b．则有
 解得
∴直线CD的解析式为y=-x+4
（3）解：双曲线 上存在点P，使得S△POC=S△POD，
这个点P就是∠COD的平分线与双曲线 的交点
证明如下：
∵点P在∠COD的平分线上．
∴点P到OC、OD的距离相等．
又OD= 
∴S△POD=S△POC． |
据专家权威分析，试题“如图，已知C、D是双曲线y=在第一象线内的分支的两点，直线CD分别..”主要考查你对 反比例函数的图像，求一次函数的解析式及一次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
反比例函数的图像求一次函数的解析式及一次函数的应用
考点名称：反比例函数的图像 考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用
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（k≠0），图像上一点P（x,y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积
。过反比例函数过一点，作垂线，三角形的面积为
。
存在两个交点，若设2点的横坐标分别为x1,x2，那么这两个交点与原点连线和两点之间的连线所构成的三角形面积为
