已知：在矩形A0BC中，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．E是边AC上的一个动点（不与A，C重合），过E点的反比例函数y=kx(k＞0)的图象与BC边交于点F．-数学打印页面

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已知：在矩形A0BC中，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．E是边AC上的一个动点（不与A，C重合），过E点的反比例函数y=kx(k＞0)的图象与BC边交于点F．-数学

[db:作者] 2019-04-13 00:00:00 互联网

题文

已知：在矩形A0BC中，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．E是边AC上的一个动点（不与A，C重合），过E点的反比例函数y=
k
x
(k＞0)的图象与BC边交于点F．
（1）若△OAE、△OBF的面积分别为S₁、S₂且S₁+S₂=2，求k的值；
（2）若OB=4，OA=3，记S=S_△OEF-S_△ECF问当点E运动到什么位置时，S有最大值，其最大值为多少？
（3）请探索：是否存在这样的点E，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档

答案

（1）∵点E、F在函数y=
k
x
（k＞0）的图象上，
∴设E（x₁，
k
x1
），F（x₂，
k
x2
），x₁＞0，x₂＞0，
∴S1=
1
2
x1
k
x1
=
K
2
，S₂=
1
2
x2
k
x2
=
K
2
，
∵S₁+S₂=2，
∴
K
2
+
K
2
=2，
∴k=2；

（2）由题意知：E，F两点坐标分别为E(
k
3
，3)，F(4，
k
4
)，
∴S△ECF=
1
2
EC?CF=
1
2
(4-
1
3
k)(3-
1
4
k)，
∴S_△EOF=S_矩形AOBC-S_△AOE-S_△BOF-S_△ECF，
=12-
1
2
k-
1
2
k-S_△ECF，
=12-k-S_△ECF，
∴S=S_△OEF-S_△ECF，
=12-k-2S_△ECF，
=12-k-2×
1
2
（4-
1
3
k）（3-
1
4
k），
∴S=-
1
12
k2+k．
当k=-
1
2×(-
1
12
)
=6时，S有最大值．S最大值=
-1
4×(-
1
12
)
=3．
此时，点E坐标为（2，3），即点E运动到AC中点．

（3）设存在这样的点E，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的M点，过点E作EN⊥OB，垂足为N．
由题意得：EN=AO=3，EM=EC=4-
1
3
k，MF=CF=3-
1
4
k，
∵∠EMN+∠FMB=∠FMB+∠MFB=90°，
∴∠EMN=∠MFB．
又∵∠ENM=∠MBF=90°，
∴△ENM∽△MBF．
∴
EN
MB
=
EM
MF
，
∴
3
MB
=
4-
1
3
k
3-
1
4
k
=
4(1-
1
12
k)
3(1-
1
12
k)
，
∴MB=
9
4
．
∵MB²+BF²=MF²，
∴(
9
4
)2+(
k
4
)2=(3-
1
4
k)2，
解得k=
21
8
．
∴EM=EC=4-
k
3
=
25
8
，
故AE=
7
8
．
∴存在符合条件的点E，它的坐标为（
7
8
，3）．

据专家权威分析，试题“已知：在矩形A0BC中，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所..”主要考查你对求反比例函数的解析式及反比例函数的应用等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

反比例函数解析式的确定方法：
由于在反比例函数关系式：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

反比例函数的应用：
建立函数模型，解决实际问题。
用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
③由代人法解待定系数k的值；
④把k值代人函数关系式y= 中。

反比例函数应用一般步骤：
①审题；
②求出反比例函数的关系式；
③求出问题的答案，作答。

http://www.00-edu.com/ks/shuxue/2/91/2019-04-13/1011823.html十二生肖
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