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如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P在BC边上运动，连接DP，过点A作AE⊥DP，垂足为E．（1）连接AP，求证：S△APD=12S矩形ABCD；（2）设DP=y，AE=x，求y与x之间函数关系式；（3）写出自-数学
[db:作者]  2019-04-13 00:00:00  零零社区

题文

如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P在BC边上运动，连接DP，过点A作AE⊥DP，垂足为E．
（1）连接AP，求证：S△APD=
1
2
S矩形ABCD；
（2）设DP=y，AE=x，求y与x之间函数关系式；
（3）写出自变量x的取值范围，并求出y的最大值．
题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=∠C=90°，AB=CD（1分）
∵S△APD=S矩形ABCD-S△ABP-S△DPC=AB?BC-
1
2
BP?AB-
1
2
PC?DC
=AB?BC-
1
2
（BP+PC）AB
=AB?BC-
1
2
BC?AB
=
1
2
AB?BC（3分）
又∵S矩形ABCD=AB?BC
∴S△APD=
1
2
S矩形ABCD（4分）；

（2）∵AE⊥PD
∴S△APD=
1
2
PD?AE（5分）
由（1）可知S△APD=
1
2
S矩形ABCD=
1
2
×3×4=6（6分）
∴
1
2
xy=6
y=
12
x
（7分）；

（3）当B，P重合时x最短为：
12
5
，当P，C重合时，x最长为4，
则自变量x的取值范围：
12
5
≤x≤4（10分）
∵在第一象限内，y随x的增大而减小，
∴当x=
12
5
时，y最大=5（12分）．

据专家权威分析，试题“如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P在BC边上运动，连接DP，过点..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

  • 反比例函数解析式的确定方法：
    由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

    反比例函数的应用：
    建立函数模型，解决实际问题。

  • 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
    ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
    ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
    ③由代人法解待定系数k的值；
    ④把k值代人函数关系式y= 中。

    反比例函数应用一般步骤：
    ①审题；
    ②求出反比例函数的关系式；
    ③求出问题的答案，作答。
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