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如图，已知直线y=4-x与反比例函数y=mx（m＞0，x＞0）的图象交于A，B两点，与x轴，y轴分别相交于C，D两点．（1）如果点A的横坐标为1，利用函数图象求关于x的不等式4-x＜mx的解集；（2）-数学
[db:作者]  2019-04-13 00:00:00  互联网

题文

如图，已知直线y=4-x与反比例函数y=
m
x
（m＞0，x＞0）的图象交于A，B两点，与x轴，y轴分别相交于C，D两点．
（1）如果点A的横坐标为1，利用函数图象求关于x的不等式4-x＜
m
x
的解集；
（2）是否存在以AB为直径的圆经过点P（1，0）？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
题型：解答题  难度：中档

答案

（1）将x=1代入直线y=4-x得，y=4-1=3，
则A点坐标为（1，3），
将A（1，3）代入y=
m
x
（m＞0，x＞0）得，
m=3，
则反比例函数解析式为y=
3
x
，
组成方程组得

y=
3
x
y=4-x
，
解得，y=1，x=3，则B点坐标为（3，1）．
当不等式4-x＜
m
x
时，0＜x＜1或x＞3．

（2）存在．
点A、B在直线y=4-x上，则可设A（a，4-a），B（b，4-b）．
如右图所示，过点A作AD⊥x轴于点D，则AD=4-a，PD=1-a；
过点B作BE⊥x轴于点E，则BE=4-b，PE=b-1．
∵点P在以AB为直径的圆上，
∴∠APB=90°（圆周角定理）．
易证Rt△ADP∽Rt△PEB，
∴
AD
PE
=
PD
BE
，即
4-a
b-1
=
1-a
4-b
，
整理得：5（a+b）-2ab=17 ①
∵点A、B在双曲线y=
m
x
上，
∴a（4-a）=m，b（4-b）=m，
∴a2-4a+m=0，b2-4b+m=0，
∴a、b是一元二次方程x2-4x+m=0的两个根，
∴a+b=4，ab=m．
代入①式得：5×4-2m=17，
解得：m=
3
2
．
∴存在以AB为直径的圆经过点P（1，0），此时m=
3
2
．

据专家权威分析，试题“如图，已知直线y=4-x与反比例函数y=mx（m＞0，x＞0）的图象交于A，B两..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

  • 反比例函数解析式的确定方法：
    由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

    反比例函数的应用：
    建立函数模型，解决实际问题。

  • 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
    ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
    ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
    ③由代人法解待定系数k的值；
    ④把k值代人函数关系式y= 中。

    反比例函数应用一般步骤：
    ①审题；
    ②求出反比例函数的关系式；
    ③求出问题的答案，作答。
http://www.00-edu.com/ks/shuxue/2/91/2019-04-13/1012447.html十二生肖
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