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观察下列各式及验证过程：……⑴按照上述三个等式及验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证．⑵针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意的自然数，且n≥2）表示的等式，无-九年级数学
[db:作者]  2019-04-17 00:00:00  零零社区

题文

观察下列各式及验证过程：

……
⑴按照上述三个等式及验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证．
⑵针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意的自然数，且n≥2）表示的等式，无须证明．

题型：解答题  难度：偏易

答案

①      ② 

（1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质=a（a≥0），把根号内的移到根号外；
（2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，观察根号外的和根号内的分子、分母之间的关系可得：

据专家权威分析，试题“观察下列各式及验证过程：……⑴按照上述三个等式及验证过程中的基本..”主要考查你对  二次根式的加减，二次根式的定义，二次根式的乘除，同类二次根式  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次根式的加减二次根式的定义二次根式的乘除同类二次根式

考点名称：二次根式的加减

  • 二次根式加减法法则：
    先把式子中各项二次根式化成最简二次根式，然后再合并同类二次根式。
    1、同类二次根式
    一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
    2、合并同类二次根式
    把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
    3、二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
    例如：（1）；2+3=5（2）+2=3
    4、注意：有括号时，要先去括号。

  • 二次根式的加减注意:
    ①二次根式合并同类项与合并同类项类似,因此二次根式的加减可以对比整式的加减进行;
    ②二次根式加减混合运算的是指就是合并同类项二次根式,不是同类二次根式不能合并。如+是最简结果,不能再合并;
    ③二次根式进行加减运算时,根号外的系数因式须保留假分数形式,如，不能写成5
    ④合并同类二次根式后若系数为多项式,须添加括号。

考点名称：二次根式的定义

  • 二次根式:
    我们把形如叫做二次根式。
    二次根式必须满足：
    含有二次根号“”；
    被开方数a必须是非负数。

    确定二次根式中被开方数的取值范围：
    要是二次根式有意义，被开方数a必须是非负数，即a≥0，由此可确定被开方数中字母的取值范围。

  • 二次根式性质：
    （1）a≥0 ； ≥0 （双重非负性 )；

    （2）；

    （3）
                                0(a=0);

    （4）；

    （5）。

  • 二次根式判定：
    ①二次根式必须有二次根号，如，等；
    ②二次根式中，被开方数a可以是具体的一个数，也可以是代数式；
    ③二次根式定义中a≥0 是定义组成的一部分,不能省略;
    ④二次根式是一个非负数;
    ⑤二次根式与算术平方根有着内在的联系,(a≥0 )就表示a的算术平方根。

    二次根式的应用：
    主要体现在两个方面：
    （1）利用从特殊到一般，在由一般到特殊的重要思想方法，解决一些规律探索性问题；
    （2）利用二次根式解决长度、高度计算问题，根据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问题。这个过程需要用到二次根式的计算，其实就是化简求值。

考点名称：二次根式的乘除

  • 二次根式的乘除法则：
    1、二次根式的乘法原则：，即两个二次根式相乘，根指数不变，相乘的结果是一个二次根式或有理式。
    2、二次根式的除法原则：，即二次根式相除，就是把被被开方数相除，根指数不变。
    有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。

考点名称：同类二次根式

  • 化成最简二次根式后的被开方数相同,这样的二次根式叫做同类二次根式。
    一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式。
    要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断。

  • 同类二次根式与同类项的异同：
    同类二次根式与同类项无论在表现形式上还是运算法则上都有极类似之处，因此我们把二者的区别和联系列出，学习时注意辨析、对比来应用。
    相同点
    1. 两者都是两个代数式间的一种关系。同类项是两个单项间的关系，字母及相同字母的指数都相同的项；同类二次根式是两个二次根式间的关系，指化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式。
    2. 两者都能合并，而且合并法则相同。我们如果把最简二次根式的根号部分看做是同类项的指数部分，把根号外的因式看做是同类项的系数部分，那么同类二次根式的合并法则与同类项的合并法则相同，即“同类二次根式（或同类项）相加减，根式（字母）不变，系数相加减”。
    不同点
    1. 判断准则不同。
    判断两个最简二次根式是否为同类二次根式，其依据是“被开方数是否相同”，与根号外的因式无关；而同类项的判断依据是“字母因式及其指数是否对应相同”，与系数无关。
    2. 合并形式不同。
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