我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：s=14[a2×b2-(a2+b2-c22)2]…①（其中a、b、c为三角形的三边长，-数学打印页面

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我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：s=14[a2×b2-(a2+b2-c22)2]…①（其中a、b、c为三角形的三边长，-数学

[db:作者] 2019-04-21 00:00:00 互联网

题文

我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：s=
1
4
[a2×b2-(
a2+b2-c2
2
)2]
…①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．
而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：
s=
p(p-a)(p-b)(p-c)
…②（其中p=
a+b+c
2
．）
（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；
（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．
题型：解答题难度：中档

答案

（1）S=
1
4
[52×72-(
52+72-82
2
)2]
，
=
1
2
52(72-11)
=
5
2
48
=10
3
；
P=
1
2
（5+7+8）=10，
又S=
10(10-5)(10-7)(10-8)
=
10×5×3×2
=10
3
；
（2）
1
4
[a2b2-(
a2+b2-c2
2
)2]=
1
4
（
4a2b2
4
-
(a2+b2) 2-2(a2+b2)? c2+(c2) 2
4
）
=
1
16
[c2-(a-b)2][(a+b)2-c2]，
=
1
16
（c+a-b）（c-a+b）（a+b+c）（a+b-c），
=
1
16
（2p-2a）（2p-2b）?2P?（2p-2c），
=p（p-a）（p-b）（p-c），
∴
1
4
[a2b2-(
a2+b2-c2
2
)]
=
p(p-a)(p-b)(p-c)
．
（说明：若在整个推导过程中，始终带根号运算当然也正确）

据专家权威分析，试题“我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知..”主要考查你对二次根式的加减乘除混合运算，二次根式的化简等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次根式的加减乘除混合运算，二次根式的化简

考点名称：二次根式的加减乘除混合运算，二次根式的化简

二次根式的加减乘除混合运算：
顺序与师叔运算的顺序一样,先乘方，后乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的。
①在运算过程中,多项式乘法,乘法公式和有理数(式)中的运算律在二次根式的运算中仍然适用。
②二次根式的加减乘除混合运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”。
③运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。
二次根式的化简：
先对分子、分母因式分解，能约分的就约分，能开方的就开方，或先对被开方数进行通分，然后再通过分母有理化进行化简。
二次根式混合运算掌握：
1、确定运算顺序。
2、灵活运用运算定律。
3、正确使用乘法公式。
4、大多数分母有理化要及时。
5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化。
6、字母运算时注意隐含条件和末尾括号的注明。
7、提公因式时可以考虑提带根号的公因式。

二次根式化简方法：
二次根式的化简是初中阶段考试必考的内容，初中竞赛的题目中也常常会考察这一内容。
分母有理化：
分母有理化即将分母从非有理数转化为有理数的过程，以下列出分母有理化的几种方法：
（1）直接利用二次根式的运算法则：
例：
（2）利用平方差公式：
例：
（3）利用因式分解：
例：（此题可运用待定系数法便于分子的分解）

换元法（整体代入法）：
换元法即把根式中的某一部分用另一个字母代替的方法，是化简的重要方法之一。
例：在根式中，令，即可得到
原式=√(u2+9-6u)+√(u2+25-10u)=√(u-3)2+√(u-5)2=2u-8=2√(x+2)-8

提公因式法：
例：计算

巧构常值代入法：
例：已知x²-3x+1=0,求的值。
分析：已知形如ax²+bx+c=0（x≠0）的条件，所求式子中含有的项，可先将ax²+bx+c=0化为x+=，即先构造一个常数，再代入求值。
解：显然x≠0，x²-3x+1=0化为x+=3。
原式==2.

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