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已知实数a、b满足条件|a-b|=ba<1,化简代数式(1a-1b)(a-b-1)2,将结果表示成只含有字母a的形式.-数学

[db:作者]  2019-04-22 00:00:00  零零社区

题文

已知实数a、b满足条件|a-b|=
b
a
<1,化简代数式(
1
a
-
1
b

(a-b-1)2
,将结果表示成只含有字母a的形式.
题型:解答题  难度:中档

答案

∵|a-b|=
b
a
<1,
∴a、b同号,且a≠0,b≠0,
∴a-b-1=(a-b)-1<0,
∴(
1
a
-
1
b

(a-b-1)2
=(
1
a
-
1
b
)[1-(a-b)]=
b-a
ab
[1-(a-b)].
①若a、b同为正数,由
b
a
<1,得a>b,
∴a-b=
b
a
,a2-ab=b,解得b=
a2
a+1

∴(
1
a
-
1
b

(a-b-1)2
=
b-a
ab
[1-(a-b)]=
-
b
a
a
ab
(1-
b
a
)
=-
1
a2
?
a-b
a
=-
b
a4

=-
1
a2(a+1)

②若a、b同为负数,由
b
a
<1,得b>a,
∴a-b=-
b
a
,a2-ab=-b,解得b=
a2
a-1

∴(
1
a
-
1
b

(a-b-1)2
=
b-a
ab
[1-(a-b)]=
b
a
ab
(1+
b
a
)
=
a+b
a3
=
a+
a2
a-1
a3

=
2a-1
a2(a-1)

综上所述,当a、b同为正数时,原式的结果为-
1
a2(a+1)
;当a、b同为负数时,原式的结果为
2a-1
a2(a-1)

据专家权威分析,试题“已知实数a、b满足条件|a-b|=ba<1,化简代数式(1a-1b)(a-b-1)2,将..”主要考查你对  最简二次根式  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

最简二次根式

考点名称:最简二次根式

  • 最简二次根式定义:
    被开方数中不含字母,并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2,这样的二次根式称为最简二次根式。
    有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,则说这两个代数式互为有理化因式。

  • 最简二次根式同时满足下列三个条件:
    (1)被开方数的因数是整数,因式是整式;
    (2)被开方数中不含有能开的尽的因式;
    (3)被开方数不含分母。

  • 最简二次根式判定:
    ①在二次根式的被开方数中,只要含有分数或小数就不是最简二次根式;
    ②在二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数),如果幂的指数等于或大于2,也不是最简二次根式。

    化二次根式为最简二次根式的方法和步骤:
    ①如果被开方数是分数(包括小数)或分式,先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式,然后利用分母有理化进行化简。
    ②如果被开方数是整数或整式,先将他们分解因数或因式,然后把能开得尽方的因数或因式开出来。



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