已知x=n+1-nn+1+n，y=n+1+nn+1-n（n为自然数），问：是否存在自然数n，使代数式19x2+36xy+19y2的值为1998？若存在，求出n；若不存在，请说明理由．-数学打印页面

已知x=n+1-nn+1+n，y=n+1+nn+1-n（n为自然数），问：是否存在自然数n，使代数式19x2+36xy+19y2的值为1998？若存在，求出n；若不存在，请说明理由．-数学

[db:作者] 2019-04-22 00:00:00 零零社区

题文

已知x=
n+1
-
n
n+1
+
n
，y=
n+1
+
n
n+1
-
n
（n为自然数），问：是否存在自然数n，使代数式19x²+36xy+19y²的值为1 998？若存在，求出n；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档

答案

不存在．
∵x+y=
n+1
-
n
n+1
+
n
+
n+1
+
n
n+1
-
n
=(
n+1
-
n
)2+(
n+1
+
n
)²
=n+1-2
n(n+1)
+n+n+1+n+2
n(n+1)
=4n+2．
xy=
n+1
-
n
n+1
+
n
?
n+1
+
n
n+1-
n
=1．
假设存在n使代数式19x²+36xy+19y²的值为1998．
即19x²+36xy+19y²=1998．
19x²+19y²=1962，（x²+y²）=
1 962
19
．
（x+y）²=
1 962
19
+
38
19
=
2 000
19
. x+y=
2 000
19
=
20
95
19
．
由已知条件，得x+y=2（2n+1）．
∵n为自然数，∴2（2n+1）为偶数，
∴x+y=
20
95
19
不为整数．
∴不存在这样的自然数n．

据专家权威分析，试题“已知x=n+1-nn+1+n，y=n+1+nn+1-n（n为自然数），问：是否存在自然数..”主要考查你对最简二次根式等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

最简二次根式

考点名称：最简二次根式

最简二次根式定义：
被开方数中不含字母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2，这样的二次根式称为最简二次根式。
有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。
最简二次根式同时满足下列三个条件：
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）被开方数中不含有能开的尽的因式；
（3）被开方数不含分母。
最简二次根式判定：
①在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数就不是最简二次根式；
②在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式。

化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：
①如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
②如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。

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十二星座