题文
已知关于x的方程(m2-1)x2-3(3m-1)x+18=0有两个正整数根(m是正整数).△ABC的三边a、b、c满足c=2,m2+a2m-8a=0,m2+b2m-8b=0. 求:(1)m的值;(2)△ABC的面积. |
题型:解答题 难度:中档
答案
(1)∵关于x的方程(m2-1)x2-3(3m-1)x+18=0有两个正整数根(m是整数). ∵a=m2-1,b=-9m+3,c=18, ∴b2-4ac=(9m-3)2-72(m2-1)=9(m-3)2≥0, 设x1,x2是此方程的两个根, ∴x1?x2==, ∴也是正整数,即m2-1=1或2或3或6或9或18, 又m为正整数, ∴m=2;
(2)把m=2代入两等式,化简得a2-4a+2=0,b2-4b+2=0 当a=b时,a=b=2± 当a≠b时,a、b是方程x2-4x+2=0的两根,而△>0,由韦达定理得a+b=4>0,ab=2>0,则a>0、b>0. ①a≠b,c=2时,由于a2+b2=(a+b)2-2ab=16-4=12=c2 故△ABC为直角三角形,且∠C=90°,S△ABC=ab=1. ②a=b=2-,c=2时,因2(2-)<2,故不能构成三角形,不合题意,舍去. ③a=b=2+,c=2时,因2(2+)>2,故能构成三角形. S△ABC=×2×= 综上,△ABC的面积为1或. |
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