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题文
已知关于x的一元二次方程x2 (2k+3)x+k2+3k+2=0
（1）试判断上述方程根的情况；
（2）若以上述方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数 的图象上，求满足条件的m的最小值；
（3）已知△ABC的两边AB、AC的长是关于上述方程的两个实数根，BC的长为5．
①当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形?
②当k为何值时，△ABC是等腰三角形?请求出此时△ABC的周长． |
题型：解答题 难度：中档
答案
（1）有两个不相等的实数根；（2） ；（3）①2或3；②k=3或4，周长为14和16 |
试题分析：（1）先由题意求得根的判别式△ 的值，即可作出判断；
（2）设方程x2(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个根为 ， ，根据题意得 ．又由一元二次方程根与系数的关系得， ，从而可得 ，再根据二次函数的性质即可求得结果；
（3）①由题意可得x1="k" +1，x2=k+2．不妨设AB=k+1，AC=k+2．再根据勾股定理即可列方程求解；
②分AC=BC=5与AB=BC=5两种情况，结合等腰三角形的性质求解即可.
（1）由方程x2(2k+3)x+k2+3k+2=0，得b24ac=1， 方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程x2(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个根为，，根据题意得．
又由一元二次方程根与系数的关系得，
，
所以，当k＝ 时,m取得最小值；
（3）①x1="k" +1，x2=k+2．不妨设AB=k+1，AC=k+2．
 斜边BC=5时，有AB2+AC2=BC2，即(k+1)2+(k+2)2=25
解得k1=2，k2=5(舍去)
当k="2" 时，△ABC是直角三角形；
②AB=k+1，AC=k+2，BC=5,
由（1）知AB≠AC
故有两种情况：
（Ⅰ）当AC=BC=5时，k+2=5，k=3．
∵5、5、4能组成三角形，
△ABC的周长为5+5+k+1=14
（Ⅱ）当AB=BC=5时，k+1=5，k=4．
∵5、5、6能组成三角形，
△ABC的周长为5+5+k+2=16．
故△ABC的周长分别是14和16．
点评：解题的关键是熟记一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1） 方程有两个不相等的实数根；（2） 方程有两个相等的实数根；（3） 方程没有实数根． |
据专家权威分析，试题“已知关于x的一元二次方程x2(2k+3)x+k2+3k+2=0（1）试判断上述方程根..”主要考查你对 一元二次方程的定义，一元二次方程的解法 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
一元二次方程的定义一元二次方程的解法
考点名称：一元二次方程的定义 考点名称：一元二次方程的解法
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的一元二次方程，根据平方根的定义可知，x+a 是b的平方根，当
时，
；当b<0时，方程没有实数根。 
，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有 
。 
的求根公式：