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.已知方程(a-x)2-4(b-x)(c-x)=0,试说明:(1)此方程必有实数根;(2)若a、b、c为△ABC的三边长,方程有两个相等的实数根,则△ABC为等边三角形。-九年级数学

[db:作者]  2019-04-26 00:00:00  互联网

题文

.已知方程(a-x)2-4(b-x)(c-x)=0,试说明:
(1)此方程必有实数根;
(2)若a、b、c为△ABC的三边长,方程有两个相等的实数根,则△ABC为等边三角形。
题型:解答题  难度:偏难

答案

证明:(1)整理方程(a-x)2-4(b-x)(c-x)=0,
得3x2-(4b+4c-2a)x+4bc-a2=0,
Δ=(4b+4c-2a)2-12(4bc-a2),
=16b2+16c2+16a2-16ab-16bc-16ac,
=8(a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2),
=8[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2],
∵(a-b)2≥0,(b-c)2≥0,(a-c)2≥0,
∴Δ≥0,
∴方程必有实数根;
(2)∵方程有两个相等的实数根,
∴Δ=8[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]=0,
∴a-b=0,b-c=0,a-c=0,
∵a、b、c为三角形三边长,
∴a=b≠0,b=c≠0,a=c≠0,
∴a=b=c,
∴△ABC为等边三角形。

据专家权威分析,试题“.已知方程(a-x)2-4(b-x)(c-x)=0,试说明:(1)此方程必有实数根;..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系,等边三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

一元二次方程根与系数的关系等边三角形

考点名称:一元二次方程根与系数的关系

  • 一元二次方程根与系数的关系:
    如果方程 的两个实数根是那么
    也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

  • 一元二次方程根与系数关系的推论:
    1.如果方程x2+px+q=0的两个根是x1、x2,那么x1+x2=-p , x1`x2=q
    2.以两个数x1、x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0
    提示:
    ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式,以便正确确定a、b、c的值。
    ②有推论1可知,对于二次项系数为1的一元二次方程,他的两根之和等于一次项系数的相反数,两根之积等于常数项。
    ③推论2可以看作推论1的逆定理,利用推论2可以直接求出以两个数x1、x2为根的一元二次方程(二次项系数是1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0

考点名称:等边三角形

  • 等边三角形定义:
    三条边都相等的三角形叫做等边三角形,“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
    如果一个三角形满足下列任意一条,则它必满足另一条,三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形:
    1.三边长度相等;
    2.三个内角度数均为60度;
    3.一个内角为60度的等腰三角形。

  • 性质:
    ①等边三角形是锐角三角形,等边三角形的内角都相等,且均为60°。
    ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合(三线合一)
    ③等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
    ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点,称为等边三角形的中心。(四心合一)
    ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

  • 判定方法:
    ①三边相等的三角形是等边三角形(定义)
    ②三个内角都相等(为60度)的三角形是等边三角形
    ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
    ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
    说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。

    等边三角形的性质与判定理解:
    首先,明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形,也称正三角形。
    其次,明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形,等腰三角形不一定是等边三角形。

    等比三角形的尺规做法:
    可以利用尺规作图的方式画出正三角形,其作法相当简单:先用尺画出一条任意长度的线段(这条线段的长度决定等边三角形的边长),再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆,二圆汇交于二点,任选一点,和原来线段的两个端点画线段,则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。



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