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给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍”矩形，如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“加倍”矩形，请你-九年级数学
[db:作者]  2019-04-26 00:00:00  互联网

题文

给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍”矩形，如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“加倍”矩形，请你解决下列问题：

（1）边长为a的正方形存在“加倍”正方形吗？如果存在，求出“加倍”正方形的边长；如果不存在，说明理由。
（2）当矩形的长和宽分别为m，n时，它是否存在“加倍”矩形？请作出判断，说明理由。
题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）不存在　　
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时，则面积比必定是4，所以不存在。
（2）存在
设“加倍”矩形的长和宽分别为x，y
则
x，y就是关于A的方程的两个正根
∵
当m，n不同时为零时，此题中，m＞0，n＞0
∴
∴方程有两个不相等的正实数根x和y
即：存在一个矩形是已知矩形的“加倍”矩形。

据专家权威分析，试题“给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系，相似多边形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系相似多边形的性质

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

  • 一元二次方程根与系数的关系：
    如果方程 的两个实数根是那么，。
    也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

  • 一元二次方程根与系数关系的推论：
    1.如果方程x2+px+q=0的两个根是x1、x2，那么x1+x2=-p ， x1`x2=q
    2.以两个数x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2-(x1+x2)x+x1x2=0
    提示：
    ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
    ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
    ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x2-(x1+x2)x+x1x2=0

考点名称：相似多边形的性质

  • 相似多边形：
    如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。（或相似系数）
    判定:
    如果对应角相等,对应边成比例的多边形是相似多边形.
    如果所有对应边成比例，那么这两个多边形相似

  • 相似多边形的性质：
    相似多边形的性质定理1：相似多边形周长比等于相似比。
    相似多边形的性质定理2：相似多边形对应对角线的比等于相似比。
    相似多边形的性质定理3：相似多边形中的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比。
    相似多边形的性质定理4：相似多边形面积的比等于相似比的平方。
    相似多边形的性质定理5：若相似比为1，则全等。
    相似多边形的性质定理6：相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例。
    相似多边形的性质定理7：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
    相似多边形的性质定理主要根据它的定义：对应角相等，对应边成比例。
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