题文
已知:四边形ABCD中,AB∥CD,且AB、CD的长是关于x的方程x2-2mx+(m-)2+=0的两个根. (1)当m=2和m>2时,四边形ABCD分别是哪种四边形并说明理由. (2)若M、N分别是AD、BC的中点,线段MN分别交AC、BD于点P、Q,PQ=1,且AB<CD,求AB、CD的长; (3)在(2)的条件下,AD=BC=2,求一个一元二次方程,使它的两个根分别是tan∠BDC和tan∠BCD. |
题型:解答题 难度:中档
答案
(1)当m=2时,x2-4x+4=0. ∵△=0,方程有两个相等的实数根. ∴AB=CD,此时AB∥CD,则该四边形是平行四边形; 当m>2时,△=m-2>0, 又∵AB+CD=2m>0, AB?CD=(m-)2+>0, ∴AB≠CD. 该四边形是梯形.
(2)根据三角形的中位线定理可以证明:连接梯形的两条对角线的中点的线段等于梯形的上下底的差的一半. 则根据PQ=1,得CD-AB=2. 根据(1)中的AB+CD和AB?CD的式子得(2m)2-4(m2-m+2)=4, ∴m=3. 当m=3时,则有x2-6x+8=0, ∴x=2或x=4, 即AB=2,CD=4.
(3)根据该梯形是等腰梯形,平移一腰,则得到等边△BEC. ∴∠BCD=60°,∠BDC=30°. ∵tan∠BDC+tan∠BCD=, tan∠BDC?tan∠BCD=1. ∴所求作的方程是y2-y+1=0. |
据专家权威分析,试题“已知:四边形ABCD中,AB∥CD,且AB、CD的长是关于x的方程x2-2mx+(m..”主要考查你对 一元二次方程根与系数的关系,一元二次方程根的判别式,平行四边形的判定,梯形,梯形的中位线,锐角三角函数的定义 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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考点名称:一元二次方程根与系数的关系 考点名称:一元二次方程根的判别式 考点名称:平行四边形的判定 考点名称:梯形,梯形的中位线 考点名称:锐角三角函数的定义
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