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如果方程x2+px+q=0（p2-4q≥0）的两个根是x1，x2，（1）求证：x1+x2=-p，x1?x2=q；（2）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0）求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒-数学
[db:作者]  2019-04-26 00:00:00  互联网

题文

如果方程x2+px+q=0（p2-4q≥0）的两个根是x1，x2，
（1）求证：x1+x2=-p，x1?x2=q；
（2）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0）求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；
（3）已知a，b满足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，求
a
b
+
b
a
的值．
题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证法1：∵x2+px+q=0，
∴x1=

p2-4q
-p
2
，x2=
-

p2-4q
-p
2
．
∴x1+x2=

p2-4q
-p
2
+
-

p2-4q
-p
2
=-p，
∴x1x2=

p2-4q
-p
2
×
-

p2-4q
-p
2
=q．
证法2：∵x2+px+q=0的两根为x1，x2．
∴(x-x1)(x-x2)=x2+px+q，
即x2-(x1+x2)x+x1x2=x2+px+q．
∴x1+x2=-p，x1x2=q．

（2）设关于x的方程x2+mx+n=0的两根为x1、x2，则有：x1+x2=-m，x1?x2=n，且由已知所求方程的两根为
1
x1
、
1
x2
．
∴
1
x1
+
1
x2
=
x1+x2
x1?x2
=
-m
n
．
1
x1
?
1
x2
=
1
x1?x2
=
1
n
，
∴所求方程为x2-
-m
n
x+
1
n
=0，即nx2+mx+1=0（n≠0）；

（3）∵a，b满足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，
∴a，b是方程x2-15x-5=0的两根．
∴a+b=15，ab=-5，
∴
a
b
+
b
a
=
(a+b)2-2ab
ab
=
(a+b)2
ab
-2=
152
-5
-2=-47．

据专家权威分析，试题“如果方程x2+px+q=0（p2-4q≥0）的两个根是x1，x2，（1）求证：x1+x2=-p..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

  • 一元二次方程根与系数的关系：
    如果方程 的两个实数根是那么，。
    也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

  • 一元二次方程根与系数关系的推论：
    1.如果方程x2+px+q=0的两个根是x1、x2，那么x1+x2=-p ， x1`x2=q
    2.以两个数x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2-(x1+x2)x+x1x2=0
    提示：
    ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
    ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
    ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x2-(x1+x2)x+x1x2=0
http://www.00-edu.com/ks/shuxue/2/108/2019-04-26/1096694.html十二生肖
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