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已知实系数一元二次方程ax2+2bx+c=0有两个实根x1、x2，且a＞b＞c，a+b+c=0，若则d=|x1-x2|的取值范围为______．-数学
[db:作者]  2019-04-26 00:00:00  互联网

题文

已知实系数一元二次方程ax2+2bx+c=0有两个实根x1、x2，且a＞b＞c，a+b+c=0，若则d=|x1-x2|的取值范围为______．
题型：填空题  难度：中档

答案

∵实系数一元二次方程ax2+2bx+c=0有两个实根x1、x2，
∴x1+x2=-
2b
a
，x1?x2=
c
a
，
∴d2=|x1-x2|2=（x1+x2）2-4x1?x2=（-
2b
a
）2-
4c
a
=
4b2-4ac
a2
=
4(-a-c)2-4ac
a2
=4[（
c
a
）2+
c
a
+1]=4[（
c
a
+
1
2
）2+
3
4
]
∵a＞b＞c，a+b+c=0，
∴a＞0，c＜0，a＞-a-c＞c，
解得：-2＜
c
a
＜-
1
2
，
∵f（
c
a
）=4[（
c
a
）2+
c
a
+1]的对称轴为：
c
a
=-
1
2
，
∴当-2＜
c
a
＜-
1
2
时，f（
c
a
）=4[（
c
a
）2+
c
a
+1]是减函数，
∴3＜d2＜12，
∴

3
＜d＜2

3
，
即

3
＜|x1-x2|＜2

3
．

据专家权威分析，试题“已知实系数一元二次方程ax2+2bx+c=0有两个实根x1、x2，且a＞b＞c，..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

  • 一元二次方程根与系数的关系：
    如果方程 的两个实数根是那么，。
    也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

  • 一元二次方程根与系数关系的推论：
    1.如果方程x2+px+q=0的两个根是x1、x2，那么x1+x2=-p ， x1`x2=q
    2.以两个数x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2-(x1+x2)x+x1x2=0
    提示：
    ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
    ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
    ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x2-(x1+x2)x+x1x2=0
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