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已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BD过梯形的高AE的中点F，且BD⊥DC，设AE=h，BC=a．（1）用含字母h的代数式表示a；（2）若a、h是关于x的一元二次方程3x2-3（m+2）x+10m=0的两根，求si-数学
[db:作者]  2019-04-27 00:00:00  互联网

题文

已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BD过梯形的高AE的中点F，且BD⊥DC，设AE=h，BC=a．
（1）用含字母h的代数式表示a；
（2）若a、h是关于x的一元二次方程3x2-3（m+2）x+10m=0的两根，求sin∠DBC的值．
题型：解答题  难度：中档

答案

（1）根据题意，AD∥BC，且AF=EF；
易得Rt△AFD≌Rt△EFB，故BF=FD，BE=1；且EF=
h
2
；
由勾股定理可得：BF=

1+
h2
4
；
又可得AD=2AF；
Rt△BEF与Rt△BDC中，有∠BEF=∠BDC=90°，∠B=∠B；
故Rt△BEF∽Rt△BDC，进而可得
BE
BF
=
BD
BC
；
化简可得：a=2（1+
h2
4
）；即a=2+
h2
2
．

（2）若a、h是关于x的一元二次方程3x2-3（m+2）x+10m=0的两根，
则a+h=m+2，ah=
10m
3
；
又有a=2+
h2
2
；
解得a=10，h=4；
DC=

BC2-BD2
=8；
易得sin∠DBC=
DC
BC
=
4
5
．

据专家权威分析，试题“已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BD过梯形的高AE的中点F，且BD⊥DC..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

  • 一元二次方程根与系数的关系：
    如果方程 的两个实数根是那么，。
    也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

  • 一元二次方程根与系数关系的推论：
    1.如果方程x2+px+q=0的两个根是x1、x2，那么x1+x2=-p ， x1`x2=q
    2.以两个数x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2-(x1+x2)x+x1x2=0
    提示：
    ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
    ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
    ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x2-(x1+x2)x+x1x2=0
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