已知m，n为整数，方程x2+(n-2)n-1x+m+18=0有两个不相等的实数根，方程x2+(n-6)n-1x+m-37=0有两个相等的实数根．求n的最小值，并说明理由．-数学打印页面

已知m，n为整数，方程x2+(n-2)n-1x+m+18=0有两个不相等的实数根，方程x2+(n-6)n-1x+m-37=0有两个相等的实数根．求n的最小值，并说明理由．-数学

[db:作者] 2019-04-29 00:00:00 互联网

题文

已知m，n为整数，方程x2+(n-2)
n-1
x+m+18=0有两个不相等的实数根，方程x2+(n-6)
n-1
x+m-37=0有两个相等的实数根．求n的最小值，并说明理由．
题型：解答题难度：中档

答案

∵
n-1
有意义，
∴n-1≥0，即n≥1，
而n为整数，所以n≥1的整数．
又∵方程x2+(n-2)
n-1
x+m+18=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即△=（n-2）²（n-1）-4（m+18）＞0①；
又方程x2+(n-6)
n-1
x+m-37=0有两个相等的实数根，
∴△′=0，即△′=（n-6）²（n-1）-4（m-37）=0②，
①-②整理得：2n²-10n-47＞0，
令2n²-10n-47=0，
解得n₁=
5-
119
2
，n₂=
5+
119
2
，
∴n＜
5-
119
2
或n＞
5+
119
2
，
而n≥1的整数，
所以n＞
5+
119
2
的整数．
则n的最小整数为8，并且（8-6）²（8-1）-4（m-37）=0，
解得m=42，为整数满足条件．
所以n的最小整数为8．

据专家权威分析，试题“已知m，n为整数，方程x2+(n-2)n-1x+m+18=0有两个不相等的实数根，..”主要考查你对一元二次方程根的判别式等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根的判别式

考点名称：一元二次方程根的判别式

根的判别式：
一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac。
定理1 ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
定理2 ax²+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
定理3 ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。

根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
定理4 ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
定理5 ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
定理6 ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b²-4ac。
（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
（3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac≥0切勿丢掉等号。
（4）根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。
根的判别式有以下应用：
①不解一元二次方程，判断根的情况。
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。

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