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已知抛物线y=x2+ax+a-3(1)求证:不论a取何值,抛物线与x轴总有两个交点.(2)当a=5时,求抛物线与x轴的两个交点间的距离.(3)直接写出a=______时,抛物线与x轴的两个交点间的距离-数学

[db:作者]  2019-04-29 00:00:00  互联网

题文

已知抛物线y=x2+ax+a-3
(1)求证:不论a取何值,抛物线与x轴总有两个交点.
(2)当a=5时,求抛物线与x轴的两个交点间的距离.
(3)直接写出a=______ 时,抛物线与x轴的两个交点间的距离最小.
题型:解答题  难度:中档

答案

(1)证明:∵△=a2-4(a-3)=(a-2)2+8>0,
∴不论a取何值,抛物线与x轴总有两个交点;

(2)当a=5时,求抛物线为y=x2+5x+2,
设抛物线与x轴两交点横坐标为x1,x2
则x1+x2=-5,x1x2=2,
∴|x1-x2|=

(x1-x2) 2
=

(x1+x2) 2-4x1x2
=

25-8
=

17

∴抛物线与x轴的两个交点间的距离为

17


(3)∵x1+x2=-a,x1x2=a-3,

∴|x1-x2|=

(x1-x2) 2
=

(x1+x2) 2-4x1x2
=

 a2-4a+12   
=

(a-2)2+8


∴a=2抛物线与x轴的两个交点间的距离最小,
故答案是2.

据专家权威分析,试题“已知抛物线y=x2+ax+a-3(1)求证:不论a取何值,抛物线与x轴总有两个..”主要考查你对  一元二次方程根的判别式,二次函数与一元二次方程,直线,线段,射线  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

一元二次方程根的判别式二次函数与一元二次方程直线,线段,射线

考点名称:一元二次方程根的判别式

  • 根的判别式:
    一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac。
    定理1  ax2+bx+c=0(a≠0)中,△>0方程有两个不等实数根;
    定理2  ax2+bx+c=0(a≠0)中,△=0方程有两个相等实数根;
    定理3  ax2+bx+c=0(a≠0)中,△<0方程没有实数根。

    根的判别式逆用(注意:根据课本“反过来也成立”)得到三个定理。
    定理4  ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个不等实数根△>0;
    定理5  ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个相等实数根△=0;
    定理6  ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程没有实数根△<0。
    注意:(1)再次强调:根的判别式是指△=b2-4ac。
    (2)使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式,以便正确找出a、b、c的值。
    (3)如果说方程,即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况,此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
    (4)根的判别式b2-4ac的使用条件,是在一元二次方程中,而非别的方程中,因此,要注意隐含条件a≠0。

  • 根的判别式有以下应用:
    ①不解一元二次方程,判断根的情况。
    ②根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围。
    ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
    ④应用根的判别式判断三角形的形状。
    ⑤判断当字母的值为何值时,二次三项是完全平方式。
    ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
    ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
    ⑧利用根的判别式解有关抛物线(△>0)与x轴两交点间的距离的问题。

考点名称:二次函数与一元二次方程

  • 二次函数与一元二次方程的关系:
    函数y=ax2+bx+c(a≠0),当y=0时,得到一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)。
    那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标,因此,二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
    1、从形式上看:
    二次函数:y=ax2+bx+c  (a≠0)
    一元二次方程:ax2+bx+c=0  (a≠0)
    2、从内容上看:
    二次函数表示的是一对(x,y)之间的关系,它有无数对解;一元二次方程表示的是未知数x的值,最多只有2个值
    3、相互关系:
    二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。
    如:y=x2-4x+3与x轴的交点是(1,0)、(3,0),则一元二次方程x2-4x+3=0的根是x=1或x=3

  • 二次函数交点与二次方程根的关系:
    抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明:
    1、若△>0,则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点---相交;
    2、若△=0,则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点---相切(顶点);
    3、若△<0,则一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点--相离。
    若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A(x1,0),B(x2,0),则x1+x2=-,x1x2=

  • 点拨:
    ①解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值,反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。
    ②若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2(x1<x2),则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为(x1,0),(x2,0),对称轴为x=x1+x2/2。
    ③若a>0,当x<x1,或x>x2时,y>0;当x1<x<x2时,y<0。
    若a< 0,当x1<x<x2时,y>0;当x<x1或x>x2时,y<0。
    ④如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于M(x1,0),N(x2,0),则MN=√b2-4ac/|a|。

考点名称:直线,线段,射线

  • 基本概念:
    直线:一根拉得很紧的线,就给我们以直线的形象,直线是直的,并且是向两方无限延伸的。一条直线可以用一个小写字母表示。
    线段:直线上两个点和它们之间的部分叫做线段,这两个点叫做线段的端点。一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。
    射线:直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。
    注意:
    ①线和射线无长度,线段有长度。
    ②直线无端点,射线有一个端点,线段有两个端点。

  • 直线、射线、线段的基本性质:

    图形 表示法 端点 延长线 能否度量 基本性质
    直线 没有端点的一条线 一条线,
    不要端点
    可以向两边无限延长 两端都没有端点,可以无限延长,不可测量的线
    射线 只有一个端点的一条线 一条线,
    只有一边有端点
    一个 可以向一边无限延长 一端有端点,可以向一边无限延长,不可测量的线
    线段 两边都有端点的一条线 一条线,两边都有端点 两个 不能延长 两端都有端点,不能延长,可测量的线

  • 直线、射线、线段区别:
    直线没有端点,2边可无限延长;
    射线有1端有端点,另一端可无限延长;
    线段,有2个端点,而2个端点间的距离就是这条线段的长度。

    直线除了“直”这个特点外,还有一个很重要的特点,那就是它可以向两个方向无限延伸,永远没有尽头,所以,直线是不可能度量的。因此,在画直线时,要画出没有端点的直线,表示可以无限延伸;
    射线只有一个端点,可以向一个方向无限延伸,也永远没有尽头。所以,射线也是不可能度量的。直线上任意的一点可以把这条直线分成两条方向相反的射线,因此,射线是直线的一部分。虽然射线是直线的一部分,但由于它们都是不能度量的,所以,它们之间没有长短可以比较;
    线段有两个端点,它有一定的长度,可以度量。线段也是直线的一部分。

  • 各种图形表示方法:
    直线:一个小写字母或两个大写字母,但前面必须加“直线”两字,如:直线l,直线m;直线AB,直线CD。
    例:直线l;直线AB。
    射线:一个小写字母或端点的大写字母。和射线上的一个大写字母,前面必须加“射线”两字。如:射线a;射线OA。
    例:射线AB。
    线段:用表示端点的大写字母表示,如线段AB;用一个小写字母表示,如线段a。
    例:线段AB;线段a 。



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