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已知关于x的一元二次方程kx2+（3k+1）x+2k+1=0．（1）求证：该方程必有两个实数根；（2）若该方程只有整数根，求k的整数值；（3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，若二次函数y=（k+-数学
[db:作者]  2019-04-29 00:00:00  零零社区

题文

已知关于x的一元二次方程kx2+（3k+1）x+2k+1=0．
（1）求证：该方程必有两个实数根；
（2）若该方程只有整数根，求k的整数值；
（3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，若二次函数y=（k+1）x2+3x+m与x轴有两个不同的交点A和B（A在B左侧），并且满足OA=2?OB，求m的非负整数值．
题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：△=b2-4ac=（3k+1）2-4k（2k+1），
=（k+1）2≥0，
∴该方程必有两个实数根；
（2）x=
-(3k+1)±

(k+1)2
2k
=
-(3k+1)±(k+1)
2k
，
x 1=
-(3k+1)+(k+1)
2k
=-1，x 2=
-(3k+1)-(k+1)
2k
=-2-
1
k
，
∵方程只有整数根，
∴-2-
1
k
应为整数，即
1
k
应为整数，
∵k为整数，
∴k=±1；
（3）根据题意，k+1≠0，即k≠-1，
∴k=1，此时，二次函数为y=2x2+3x+m，
∵二次函数与x轴有两个不同的交点A和B（A在B左侧），
∴△=b2-4ac=32-4×2×m=9-8m＞0，m＜
9
8
，
∵m为非负整数
∴m=0，1，
当m=0时，二次函数为y=2x2+3x，此时A（-
3
2
，0），B（0，0）
不满足OA=2?OB，
当m=1时，二次函数为y=2x2+3x+1，此时A（-1，0），B（-
1
2
，0）
满足OA=2?OB．
∴m=1．

据专家权威分析，试题“已知关于x的一元二次方程kx2+（3k+1）x+2k+1=0．（1）求证：该方程必有..”主要考查你对  一元二次方程根的判别式，二次函数与一元二次方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根的判别式二次函数与一元二次方程

考点名称：一元二次方程根的判别式

  • 根的判别式：
    一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac。
    定理1  ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
    定理2  ax2+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
    定理3  ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。

    根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
    定理4  ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
    定理5  ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
    定理6  ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
    注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b2-4ac。
    （2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
    （3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
    （4）根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。

  • 根的判别式有以下应用：
    ①不解一元二次方程，判断根的情况。
    ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
    ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
    ④应用根的判别式判断三角形的形状。
    ⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
    ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
    ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
    ⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。

考点名称：二次函数与一元二次方程

  • 二次函数与一元二次方程的关系：
    函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。
    那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标，因此，二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
    1、从形式上看：
    二次函数：y=ax2＋bx＋c  (a≠0)
    一元二次方程：ax2＋bx＋c=0  (a≠0)
    2、从内容上看：
    二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值
    3、相互关系：
    二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。
    如：y=x2－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二次方程x2－4x＋3=0的根是x=1或x=3

  • 二次函数交点与二次方程根的关系：
    抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
    1、若△＞0，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点---相交；
    2、若△=0，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点---相切（顶点）；
    3、若△＜0，则一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点--相离。
    若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（x1，0），B（x2，0），则x1+x2=-，x1x2=。

  • 点拨：
    ①解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。
    ②若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1,x2(x1<x2),则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为（x1,0）,(x2,0),对称轴为x=x1+x2/2。
    ③若a>0,当x<x1,或x>x2时，y>0;当x1<x<x2时，y<0。
    若a< 0,当x1<x<x2时，y>0;当x<x1或x>x2时，y<0。
    ④如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于M（x1，0），N(x2，0)，则MN=√b2-4ac/|a|。
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