关于x的方程x2+2x+2x2+2x+2p-p2=0，其中p是实数．（1）若方程没有实数根，求P的范围；（2）若p＞0，问p为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个根．-数学打印页面

关于x的方程x2+2x+2x2+2x+2p-p2=0，其中p是实数．（1）若方程没有实数根，求P的范围；（2）若p＞0，问p为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个根．-数学

[db:作者] 2019-04-29 00:00:00 零零社区

题文

关于x的方程x²+2x+2
x2+2x+2p
-p2=0，其中p是实数．
（1）若方程没有实数根，求P的范围；
（2）若p＞0，问p为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个根．
题型：解答题难度：中档

答案

（1）令
x2+2x+2p
=y，①
则原方程变为y²+2y-（p²+2p）=0．（3分）
∵△=4+4（p²+2p）=4（p²+2p+1）=4（p+1）2≥0，
即y₁=p，y₂=-2-p．（6分）
若原方程没有实数根，只须
p＜0
-2-p＜0

解这个不等式组，得-2＜p＜0．（9分）

（2）∵p＞0，把y₁=p代入①，得
x2+2x+2p
=p②
而y₂=-2-p＜0，舍去．（11分）
将②式平方，整理得x²+2x-（p²-2p）=0．③（12分）
令△=4+4（p²-2p）=4（p²-2p+1）=4（p-1）²=0，解得p=1．（15分）
当p=1时，原方程有两个相等的实数根．把p=1代入③，得x²+2x+1=0，
∴x₁=x₂=-1．（17分）
经检验，当p=1时，x₁=x₂=-1是原方程的根．（18分）

据专家权威分析，试题“关于x的方程x2+2x+2x2+2x+2p-p2=0，其中p是实数．（1）若方程没有实..”主要考查你对一元二次方程根的判别式等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根的判别式

考点名称：一元二次方程根的判别式

根的判别式：
一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac。
定理1 ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
定理2 ax²+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
定理3 ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。

根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
定理4 ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
定理5 ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
定理6 ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b²-4ac。
（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
（3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac≥0切勿丢掉等号。
（4）根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。
根的判别式有以下应用：
①不解一元二次方程，判断根的情况。
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。

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