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对于给定的抛物线y=x2+ax+b，使实数p、q适合于ap=2（b+q）（1）证明：抛物线y=x2+px+q通过定点；（2）证明：下列两个二次方程，x2+ax+b=0与x2+px+q=0中至少有一个方程有实数解．-数学
[db:作者]  2019-04-29 00:00:00  互联网

题文

对于给定的抛物线y=x2+ax+b，使实数p、q适合于ap=2（b+q）
（1）证明：抛物线y=x2+px+q通过定点；
（2）证明：下列两个二次方程，x2+ax+b=0与x2+px+q=0中至少有一个方程有实数解．
题型：解答题  难度：中档

答案

证明：（1）由ap=2（b+q），得q=
ap
2
-b，代入抛物线y=x2+px+q，
得：-y+x2-b+p（x+
a
2
）=0，
得

x+
a
2
=0
-y+x2-b=0
，
解得：

x=-
a
2
y=
a2-4b
4
，
故抛物线y=x2+px+q通过定点（-
a
2
，
a2-4b
4
）．

（2）由2q=ap-2b得p2-4q=p2-2?2q=p2-2（ap-2b）=（p-a）2-（a2-4b），
∴（p2-4q）+（a2-4b）=（p-a）2≥0，
∴p2-4q，a2-4b中至少有一个非负，
∴x2+ax+b=0与x2+px+q=0中至少有一个方程有实数解．

据专家权威分析，试题“对于给定的抛物线y=x2+ax+b，使实数p、q适合于ap=2（b+q）（1）证明：..”主要考查你对  一元二次方程根的判别式，二次函数的图像  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根的判别式二次函数的图像

考点名称：一元二次方程根的判别式

  • 根的判别式：
    一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac。
    定理1  ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
    定理2  ax2+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
    定理3  ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。

    根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
    定理4  ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
    定理5  ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
    定理6  ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
    注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b2-4ac。
    （2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
    （3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
    （4）根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。

  • 根的判别式有以下应用：
    ①不解一元二次方程，判断根的情况。
    ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
    ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
    ④应用根的判别式判断三角形的形状。
    ⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
    ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
    ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
    ⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。

考点名称：二次函数的图像

  • 二次函数的图像
    是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
    抛物线的主要特征：
    ①有开口方向，a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
    ②有对称轴；
    ③有顶点；
    ④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

  • 二次函数图像性质：
    轴对称：
    二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a
    对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
    特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。
    a,b同号，对称轴在y轴左侧
    b=0,对称轴是y轴
    a,b异号，对称轴在y轴右侧

    顶点：
    二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )
    当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。
    h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。

    开口：
    二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
    当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
    |a|越大，则二次函数图像的开口越小。

  • 决定对称轴位置的因素：
    一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
    当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号
    当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
    可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0 ），对称轴在y轴右。
    事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

    决定与y轴交点的因素:
    常数项c决定二次函数图像与y轴交点。
    二次函数图像与y轴交于（0,C）
    注意：顶点坐标为（h,k)， 与y轴交于（0,C)。

    与x轴交点个数：
    a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。
    k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。
    a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图像与X轴无交点。
    当a>0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在x<h范围内是减函数，在x>h范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>k
    当a<0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在x<h范围内是增函数，在x>h范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y<k
    当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数。
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