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（1）求证关于x的一元二次方程x2+（m-3）x-3m=0一定有两个实数根；（2）若关于x的方程x2-22k-3x+3k-6=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（3）设（1）中方程的两根为a、b，若（2）中-数学
[db:作者]  2019-04-29 00:00:00  零零社区

题文

（1）求证关于x的一元二次方程x2+（m-3）x-3m=0一定有两个实数根；
（2）若关于x的方程x2-2

2k-3
x+3k-6=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（3）设（1）中方程的两根为a、b，若（2）中的k为整数，且以k、a、b为边的三角形恰好是一个直角三角形，试求m的值．
题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵a=1，b=m-3，c=-3m，
∴△=（m-3）2-4×1×（-3m）
=m2+6m+9
=（m+3）2≥0，
∴关于x的一元二次方程x2+（m-3）x-3m=0一定有两个实数根；
（2）∵a=1，b=-2

2k-3
，c=3k-6，
∴△=（-2

2k-3
）2-4×1×（3k-6）
=8k-12-12k+24
=-4k+12，
∵关于x的方程x2-2

2k-3
x+3k-6=0有两个不相等的实数根，
∴△=-4k+12＞0，
解得：k＜3；
∵2k-3≥0，
∴k≥
3
2
，
∴
3
2
≤k＜3；
（3）∵x2+（m-3）x-3m=0，
∴（x+m）（x-3）=0，
解得：x1=-m，x2=3，
∴a=-m，b=3，
∵k为整数，
∴k=2，
若k2+a2=b2，
即4+（-m）2=9，
∴m=±

5
，
∵a=-m＞0，
∴m＜0，
∴m=-

5
，
若k2+b2=a2，
则4+9=（-m）2，
解得m=±

13
，
∵m＜0，
∴m=-

13
，
∴m的值为-

5
或-

13
．

据专家权威分析，试题“（1）求证关于x的一元二次方程x2+（m-3）x-3m=0一定有两个实数根；（2..”主要考查你对  一元二次方程根的判别式  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根的判别式

考点名称：一元二次方程根的判别式

  • 根的判别式：
    一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac。
    定理1  ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
    定理2  ax2+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
    定理3  ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。

    根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
    定理4  ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
    定理5  ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
    定理6  ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
    注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b2-4ac。
    （2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
    （3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
    （4）根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。

  • 根的判别式有以下应用：
    ①不解一元二次方程，判断根的情况。
    ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
    ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
    ④应用根的判别式判断三角形的形状。
    ⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
    ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
    ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
    ⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。
http://www.00-edu.com/ks/shuxue/2/110/2019-04-29/1105711.html十二生肖
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