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已知关于x的方程x2+（k-5）x+9=0在1＜x＜2内有一实数根，求实数k的取值范围．-数学
[db:作者]  2019-04-29 00:00:00  零零社区

题文

已知关于x的方程x2+（k-5）x+9=0在1＜x＜2内有一实数根，求实数k的取值范围．
题型：解答题  难度：中档

答案

关于x的方程x2+（k-5）x+9=0在1＜x＜2内有一实数根，
即y=x2+（k-5）x+9与x轴在1＜x＜2内有一交点，故有以下三种情况：
（1）

△=(k-5)2-4×9=0①
f(1)=1+(k-5)+9＞0②
f(2)=4+2(k-5)+9＞0③
，
由①得，k2-10k-11=0，
解得k1=-1，k2=11；
由②得，k＞-5；
由③得，k＞-
3
2
；
故实数k的取值范围为k1=-1，k2=11；
（2）

△=(k-5)2-4×9＞0①
f(1)=1+(k-5)+9＞0②
f(2)=4+2(k-5)+9＜0③
，
由①得，k2-10k-11＞0，即（k+1）（k-2）＞0，
解得

k＞-1
k＞2
；或

k＜-1
k＜2
．
由②得，k＞-5；
由③得，k＜-
3
2
；
故实数k的取值范围为-5＜k＜-
3
2
；
（3）

△=(k-5)2-4×9＞0①
f(1)=1+(k-5)+9＜0②
f(2)=4+2(k-5)+9＞0③
，
由①得，k2-10k-11＞0，即（k+1）（k-2）＞0，
解得

k＞-1
k＞2
；或

k＜-1
k＜2
．
由②得，k＜-5；
由③得，k＞-
3
2
；
由②③可知，不等式组无解．

据专家权威分析，试题“已知关于x的方程x2+（k-5）x+9=0在1＜x＜2内有一实数根，求实数k的取..”主要考查你对  一元二次方程根的判别式，二次函数与一元二次方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根的判别式二次函数与一元二次方程

考点名称：一元二次方程根的判别式

  • 根的判别式：
    一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac。
    定理1  ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
    定理2  ax2+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
    定理3  ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。

    根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
    定理4  ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
    定理5  ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
    定理6  ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
    注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b2-4ac。
    （2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
    （3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
    （4）根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。

  • 根的判别式有以下应用：
    ①不解一元二次方程，判断根的情况。
    ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
    ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
    ④应用根的判别式判断三角形的形状。
    ⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
    ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
    ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
    ⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。

考点名称：二次函数与一元二次方程

  • 二次函数与一元二次方程的关系：
    函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。
    那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标，因此，二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
    1、从形式上看：
    二次函数：y=ax2＋bx＋c  (a≠0)
    一元二次方程：ax2＋bx＋c=0  (a≠0)
    2、从内容上看：
    二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值
    3、相互关系：
    二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。
    如：y=x2－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二次方程x2－4x＋3=0的根是x=1或x=3

  • 二次函数交点与二次方程根的关系：
    抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
    1、若△＞0，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点---相交；
    2、若△=0，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点---相切（顶点）；
    3、若△＜0，则一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点--相离。
    若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（x1，0），B（x2，0），则x1+x2=-，x1x2=。

  • 点拨：
    ①解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。
    ②若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1,x2(x1<x2),则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为（x1,0）,(x2,0),对称轴为x=x1+x2/2。
    ③若a>0,当x<x1,或x>x2时，y>0;当x1<x<x2时，y<0。
    若a< 0,当x1<x<x2时，y>0;当x<x1或x>x2时，y<0。
    ④如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于M（x1，0），N(x2，0)，则MN=√b2-4ac/|a|。
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