已知关于x的一元二次方程（m-2）x2-（m-1）x+m=0．（其中m为实数）（1）若此方程的一个非零实数根为k，①当k=m时，求m的值；②若记m(k+1k)-2k+5为y，求y与m的关系式；（2）当14＜m＜2时，判-数学打印页面

已知关于x的一元二次方程（m-2）x2-（m-1）x+m=0．（其中m为实数）（1）若此方程的一个非零实数根为k，①当k=m时，求m的值；②若记m(k+1k)-2k+5为y，求y与m的关系式；（2）当14＜m＜2时，判-数学

[db:作者] 2019-04-29 00:00:00 零零社区

题文

已知关于x的一元二次方程（m-2）x²-（m-1）x+m=0．（其中m为实数）
（1）若此方程的一个非零实数根为k，
①当k=m时，求m的值；
②若记m(k+
1
k
)-2k+5为y，求y与m的关系式；
（2）当
1
4
＜m＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由．
题型：解答题难度：中档

答案

（1）∵k为（m-2）x²-（m-1）x+m=0的实数根，
∴（m-2）k²-（m-1）k+m=0．+
①当k=m时，
∵k为非零实数根，
∴m≠0，方程两边都除以m，得（m-2）m-（m-1）+1=0．
整理，得m²-3m+2=0．
解得m₁=1，m₂=2．
∵（m-2）x²-（m-1）x+m=0是关于x的一元二次方程，
∴m≠2．
∴m=1．
②∵k为原方程的非零实数根，
∴将方程两边都除以k，得(m-2)k-(m-1)+
m
k
=0．
整理，得m(k+
1
k
)-2k=m-1．
∴y=m(k+
1
k
)-2k+5=m+4．

（2）解法一：△=[-（m-1）]²-4m（m-2）=-3m²+6m+1=-3m（m-2）+1．
当
1
4
＜m＜2时，m＞0，m-2＜0．
∴-3m（m-2）＞0，-3m（m-2）+1＞1＞0，△＞0．
∴当
1
4
＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根．
解法二：直接分析
1
4
＜m＜2时，函数y=（m-2）x²-（m-1）x+m的图象，
∵该函数的图象为抛物线，开口向下，与y轴正半轴相交，
∴该抛物线必与x轴有两个不同交点．
∴当
1
4
＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根．
解法三：△=[-（m-1）]²-4m（m-2）=-3m²+6m+1=-3（m-1）²+4．
结合△=-3（m-1）²+4关于m的图象可知，（如图）
当
1
4
＜m≤1时，
37
16
＜△≤4；
当1＜m＜2时，1＜△＜4．
∴当
1
4
＜m＜2时，△＞0．
∴当
1
4
＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根．

据专家权威分析，试题“已知关于x的一元二次方程（m-2）x2-（m-1）x+m=0．（其中m为实数）（1）若..”主要考查你对一元二次方程根的判别式等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根的判别式

考点名称：一元二次方程根的判别式

根的判别式：
一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac。
定理1 ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
定理2 ax²+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
定理3 ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。

根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
定理4 ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
定理5 ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
定理6 ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b²-4ac。
（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
（3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac≥0切勿丢掉等号。
（4）根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。
根的判别式有以下应用：
①不解一元二次方程，判断根的情况。
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。

http://www.00-edu.com/ks/shuxue/2/110/2019-04-29/1105966.html十二生肖
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