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已知关于x的一元二次方程kx2+2（k+4）x+（k-4）=0（1）若方程有实数根，求k的取值范围（2）若等腰三角形ABC的边长a=3，另两边b和c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．-数学
[db:作者]  2019-04-29 00:00:00  零零社区

题文

已知关于x的一元二次方程kx2+2（k+4）x+（k-4）=0
（1）若方程有实数根，求k的取值范围
（2）若等腰三角形ABC的边长a=3，另两边b和c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵关于x的一元二次方程kx2+2（k+4）x+（k-4）=0方程有实数根，
∴b2-4ac=[2（k+4）]2-4k（k-4）≥0，
解得：k≥-
4
3
且k≠0；

（2）①若a=3为底边，则b，c为腰长，则b=c，则△=0．
∴b2-4ac=[2（k+4）]2-4k（k-4）=0，
解得：k=-
4
3
．
此时原方程化为x2-4x+4=0
∴x1=x2=2，即b=c=2．
此时△ABC三边为3，2，2能构成三角形，
∴△ABC的周长为：3+2+2=7；
②若a=b为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b=a=3
代入方程：kx2+2（k+4）x+（k-4）=0得：k×32+2（k+4）×3+（k-4）=0
∴解得：k=-
5
4
，
∵x1×x2=bc=
k-4
k
=
-
5
4
-4
-
5
4
=
21
5
=3c，
∴c=
7
5
，
∴△ABC的周长为：3+3+
7
5
=
37
5
．

据专家权威分析，试题“已知关于x的一元二次方程kx2+2（k+4）x+（k-4）=0（1）若方程有实数根，..”主要考查你对  一元二次方程根的判别式  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根的判别式

考点名称：一元二次方程根的判别式

  • 根的判别式：
    一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac。
    定理1  ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
    定理2  ax2+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
    定理3  ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。

    根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
    定理4  ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
    定理5  ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
    定理6  ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
    注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b2-4ac。
    （2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
    （3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
    （4）根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。

  • 根的判别式有以下应用：
    ①不解一元二次方程，判断根的情况。
    ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
    ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
    ④应用根的判别式判断三角形的形状。
    ⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
    ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
    ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
    ⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。
http://www.00-edu.com/ks/shuxue/2/110/2019-04-29/1106003.html十二生肖
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