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方程x2-6x-k=1与x2-kx-7=0有相同的根，求k值及相同的根．-数学
[db:作者]  2019-04-29 00:00:00  零零社区

题文

方程x2-6x-k=1与x2-kx-7=0有相同的根，求k值及相同的根．
题型：解答题  难度：中档

答案

（1）设方程只有一个根相同，设相同的根是m．
∴有m2-6m-k-1=0，①
m2-mk-7=0，②
①-②得（k-6）m=k-6，
∵m只有一个值，
∴k≠6，则m=1．
∴m=l代入①得k=-6．
（2）设方程有两个相同的根，则有-k=-6且-k-l=-7，
∴k=6．此时方程有两个不相等的实根为x1=7，x2=-1．
∴k=-6时，方程有一个相同的根是x=1；k=6时，方程有两个相同的根是x1=7，x2=-1．

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一元二次方程根的判别式

考点名称：一元二次方程根的判别式

  • 根的判别式：
    一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac。
    定理1  ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
    定理2  ax2+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
    定理3  ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。

    根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
    定理4  ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
    定理5  ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
    定理6  ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
    注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b2-4ac。
    （2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
    （3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
    （4）根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。

  • 根的判别式有以下应用：
    ①不解一元二次方程，判断根的情况。
    ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
    ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
    ④应用根的判别式判断三角形的形状。
    ⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
    ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
    ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
    ⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。
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