零零教育信息网 首页 > 考试 > 数学 > 初中数学 > 二次函数的定义 > 正文 返回　打印

已知抛物线y=x2+px+q上有一点M（x0，y0）位于x轴的下方．（1）求证：已知抛物线必与x轴有两个交点A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜x2；（2）求证：x1＜x0＜x2；（3）当点M为（1，-1999）时，求整-数学
[db:作者]  2019-05-20 00:00:00  零零社区

题文

已知抛物线y=x2+px+q上有一点M（x0，y0）位于x轴的下方．
（1）求证：已知抛物线必与x轴有两个交点A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜x2；
（2）求证：x1＜x0＜x2；
（3）当点M为（1，-1999）时，求整数x1，x2．
题型：解答题  难度：中档

答案

（1）函数y=x2+px+q可化为y=（x+
p
2
）2+q-
p2
4
，
将M（x0，y0）代入得，y0=（x0+
p
2
）2+q-
p2
4
＜0，
∵y0＜0，
∴q-
p2
4
＜0，即p2＞4q，
∵△=p2-4q，
∴△＞0，
∴抛物线必与x轴有两个不同的交点；

（2）设y=（x-x1）（x-x2），将x0代入，则y0=（x0-x1）（x0-x2）＜0，
∴（x0-x1）＞0且（x0-x2）＜0，或（x0-x1）＜0且（x0-x2）＞0，
∵x1＜x2，只能是前一种情况，
∴x1＜x0＜x2；

（3）∵x1+x2=-p，x1?x2=q，
∴M点代入方程，p和q用x1和x2代换整理得，
x1?x2-（x1+x2）+1=-1999，即（x1-1）（x2-1）=-1999，
又∵x1和x2是整数及x1＜x2，
∴x1=-1998，x2=2，或x1=0，x2=2000．

据专家权威分析，试题“已知抛物线y=x2+px+q上有一点M（x0，y0）位于x轴的下方．（1）求证：已..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数与一元二次方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数与一元二次方程

考点名称：二次函数的定义

  • 定义：
    一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
    ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
    ②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
    ③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。

  • 二次函数的解析式有三种形式：
    （1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
    （2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）
    （3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。

    二次函数的一般形式的结构特征：
    ①函数的关系式是整式；
    ②自变量的最高次数是2；
    ③二次项系数不等于零。

  • 二次函数的判定：
    二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；
    当b=0，c=0时，y=ax2是特殊的二次函数；
    判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。

考点名称：二次函数与一元二次方程

  • 二次函数与一元二次方程的关系：
    函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。
    那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标，因此，二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
    1、从形式上看：
    二次函数：y=ax2＋bx＋c  (a≠0)
    一元二次方程：ax2＋bx＋c=0  (a≠0)
    2、从内容上看：
    二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值
    3、相互关系：
    二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。
    如：y=x2－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二次方程x2－4x＋3=0的根是x=1或x=3

  • 二次函数交点与二次方程根的关系：
    抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
    1、若△＞0，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点---相交；
    2、若△=0，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点---相切（顶点）；
    3、若△＜0，则一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点--相离。
    若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（x1，0），B（x2，0），则x1+x2=-，x1x2=。

  • 点拨：
    ①解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。
    ②若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1,x2(x1<x2),则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为（x1,0）,(x2,0),对称轴为x=x1+x2/2。
    ③若a>0,当x<x1,或x>x2时，y>0;当x1<x<x2时，y<0。
    若a< 0,当x1<x<x2时，y>0;当x<x1或x>x2时，y<0。
    ④如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于M（x1，0），N(x2，0)，则MN=√b2-4ac/|a|。
http://www.00-edu.com/ks/shuxue/2/117/2019-05-20/1130125.html十二生肖
十二星座