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已知抛物线y=x2+px+q上有一点M(x0,y0)位于x轴的下方.(1)求证:已知抛物线必与x轴有两个交点A(x1,0),B(x2,0),其中x1<x2;(2)求证:x1<x0<x2;(3)当点M为(1,-1999)时,求整-数学

[db:作者]  2019-05-20 00:00:00  零零社区

题文

已知抛物线y=x2+px+q上有一点M(x0,y0)位于x轴的下方.
(1)求证:已知抛物线必与x轴有两个交点A(x1,0),B(x2,0),其中x1<x2
(2)求证:x1<x0<x2
(3)当点M为(1,-1999)时,求整数x1,x2
题型:解答题  难度:中档

答案

(1)函数y=x2+px+q可化为y=(x+
p
2
2+q-
p2
4

将M(x0,y0)代入得,y0=(x0+
p
2
2+q-
p2
4
<0,
∵y0<0,
∴q-
p2
4
<0,即p2>4q,
∵△=p2-4q,
∴△>0,
∴抛物线必与x轴有两个不同的交点;

(2)设y=(x-x1)(x-x2),将x0代入,则y0=(x0-x1)(x0-x2)<0,
∴(x0-x1)>0且(x0-x2)<0,或(x0-x1)<0且(x0-x2)>0,
∵x1<x2,只能是前一种情况,
∴x1<x0<x2

(3)∵x1+x2=-p,x1?x2=q,
∴M点代入方程,p和q用x1和x2代换整理得,
x1?x2-(x1+x2)+1=-1999,即(x1-1)(x2-1)=-1999,
又∵x1和x2是整数及x1<x2
∴x1=-1998,x2=2,或x1=0,x2=2000.

据专家权威分析,试题“已知抛物线y=x2+px+q上有一点M(x0,y0)位于x轴的下方.(1)求证:已..”主要考查你对  二次函数的定义,二次函数与一元二次方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

二次函数的定义二次函数与一元二次方程

考点名称:二次函数的定义

  • 定义:
    一般地,如果(a,b,c是常数,a≠0),那么y叫做x 的二次函数。
    ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
    ②二次函数(a≠0)中x、y是变量,a,b,c是常数,自变量x 的取值范围是全体实数,b和c可以是任意实数,a是不等于0的实数,因为a=0时,变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数,若b=0,则y=c是一个常数函数。
    ③二次函数(a≠0)与一元二次方程(a≠0)有密切联系,如果将变量y换成一个常数,那么这个二次函数就是一个一元二次函数。

  • 二次函数的解析式有三种形式:
    (1)一般式:(a,b,c是常数,a≠0);
    (2)顶点式: (a,h,k是常数,a≠0)
    (3)当抛物线与x轴有交点时,即对应二次好方程有实根x1和x2存在时,根据二次三项式的分解因式,二次函数可转化为两根式。如果没有交点,则不能这样表示。

    二次函数的一般形式的结构特征:
    ①函数的关系式是整式;
    ②自变量的最高次数是2;
    ③二次项系数不等于零。

  • 二次函数的判定:
    二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式;
    当b=0,c=0时,y=ax2是特殊的二次函数;
    判断一个函数是不是二次函数,在关系式是整式的前提下,如果把关系式化简整理(去括号、合并同类项)后,能写成(a≠0)的形式,那么这个函数就是二次函数,否则就不是。

考点名称:二次函数与一元二次方程

  • 二次函数与一元二次方程的关系:
    函数y=ax2+bx+c(a≠0),当y=0时,得到一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)。
    那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标,因此,二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
    1、从形式上看:
    二次函数:y=ax2+bx+c  (a≠0)
    一元二次方程:ax2+bx+c=0  (a≠0)
    2、从内容上看:
    二次函数表示的是一对(x,y)之间的关系,它有无数对解;一元二次方程表示的是未知数x的值,最多只有2个值
    3、相互关系:
    二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。
    如:y=x2-4x+3与x轴的交点是(1,0)、(3,0),则一元二次方程x2-4x+3=0的根是x=1或x=3

  • 二次函数交点与二次方程根的关系:
    抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明:
    1、若△>0,则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点---相交;
    2、若△=0,则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点---相切(顶点);
    3、若△<0,则一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点--相离。
    若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A(x1,0),B(x2,0),则x1+x2=-,x1x2=

  • 点拨:
    ①解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值,反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。
    ②若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2(x1<x2),则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为(x1,0),(x2,0),对称轴为x=x1+x2/2。
    ③若a>0,当x<x1,或x>x2时,y>0;当x1<x<x2时,y<0。
    若a< 0,当x1<x<x2时,y>0;当x<x1或x>x2时,y<0。
    ④如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于M(x1,0),N(x2,0),则MN=√b2-4ac/|a|。



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