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题文
如图，抛物线 与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线 ，OA = 2，OD平分∠BOC交抛物线于点D（点D在第一象限）．
（１）求抛物线的解析式和点D的坐标；
（２）在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BPD的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（３）点M是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点N，使A、D、M、N四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的M点坐标；如果不存在，请说明理由． |
题型：解答题 难度：偏易
答案
（１） ；D(2，2)
（２）存在，证明略。
（３）存在，证明略。 |
解：(1) ∵OA = 2，∴A(– 2，0)。
∵A与B关于直线 对称，
∵B(3，0)，由于A、B两点在抛物线上，
∴ 解得 。 ∴
过D作DE⊥x轴于E，∵∠BOC = 90 ，OD平分∠BOC，
∴∠DOB = 45，∠ODE = 45，∴DE = OE，即xD = yD，
∴，解得x1 = 2，x2 =" –" 3(舍去)
∴D(2，2)。······················································································ （4分）
(2) 存在。BD为定值，∴要使△BPD的周长最小，只需PD + PB最小。
∵A与B关于直线对称，∴PB = PA，只需PD + PA最小。
∴连接AD，交对称轴于点P，此时PD + PA最小。······································ （6分）
由A(– 2，0)，D(2，2)可得，直线AD： ········································· （7分）
令 ，∴存在点P( )，使△BPD的周长最小。························· （8分）
(3) 存在。
(i) 当AD为□AMDN的对角线时，MD∥AN，即MD∥x轴。
∴yM= yD，
∴M与D关于直线对称。
∴M( – 1，2)。·············································· （9分）
(ii) 当AD为□ADMN的边时，
∵□ADMN是中心对称图形，△AND≌△ANM。
∴
∴令
解得 ·································· （11分）
综上所述：满足条件的M点有三个M(– 1，2)，
···················································································· （12分） |
据专家权威分析，试题“如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C，对..”主要考查你对 二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称：二次函数的定义 考点名称：二次函数的图像 考点名称：二次函数的最大值和最小值 考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用
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（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。 
（a，b，c是常数，a≠0）； 
（a，h，k是常数，a≠0） 
与x轴有交点时，即对应二次好方程
有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式
，二次函数
可转化为两根式
。如果没有交点，则不能这样表示。 
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 
处取得最小值y最小值=
；
。
，那么，首先要看
是否在自变量取值范围
内，若在此范围内，则当x=
时，
；若不在此范围内，则需要考虑函数在
范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x2 时，
，当x=x1 时
；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x1时，
，当x=x2时
。 
,
]