题文
已知抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点. (1)求A、B的坐标; (2)过点D作DH丄y轴于点H,若DH=HC,求a的值和直线CD的解析式; (3)在第(2)小题的条件下,直线CD与x轴交于点E,过线段OB的中点N作NF丄x轴,并交直线CD于点F,则直线NF上是否存在点M,使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. |
题型:解答题 难度:中档
答案
解:(1)由y=0得,ax2-2ax-3a=0, ∵a≠0, ∴x2-2x-3=0, 解得x1=-1,x2=3, ∴点A的坐标(-1,0),点B的坐标(3,0); (2)由y=ax2-2ax-3a,令x=0,得y=-3a, ∴C(0,-3a), 又∵y=ax2-2ax-3a=a(x-1)2-4a, 得D(1,-4a), ∴DH=1,CH=-4a-(-3a)=-a, ∴-a=1, ∴a=-1, ∴C(0,3),D(1,4), 设直线CD的解析式为y=kx+b,把C、D两点的坐标代入得,, 解得, ∴直线CD的解析式为y=x+3; (3)存在. 由(2)得,E(-3,0),N(- ,0) ∴F(,),EN= , 作MQ⊥CD于Q, 设存在满足条件的点M(,m),则FM= -m, EF= = ,MQ="OM=" 由题意得:Rt△FQM∽Rt△FNE, ∴= , 整理得4m2+36m-63=0, ∴m2+9m= , m2+9m+ = + (m+ )2= m+ ="±" ∴m1= ,m2="-" , ∴点M的坐标为M1(,),M2(,- ). |
据专家权威分析,试题“已知抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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