题文
(本题满分12分)如图1,抛物线y=ax2+bx+3经过A(-3,0),B(-1,0)两点.(1)求抛物线的解析式; (2)设抛物线的顶点为M,直线y=-2x+9与y轴交于点C,与直线OM交于点D.现将抛物线平移,保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点,求它的顶点横坐标的值或取值范围; (3)如图2,将抛物线平移,当顶点至原点时,过Q(0,3)作不平行于x轴的直线交抛物线于E,F两点.问在y轴的负半轴上是否存在点P,使△PEF的内心在y轴上.若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. |
题型:解答题 难度:中档
答案
(1)抛物线y=ax2+bx+3经过A(-3,0),B(-1,0)两点 ∴9a-3b+3=0 且a-b+3=0解得a=1b=4 ∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3 (2)由(1)配方得y=(x+2)2-1 ∴抛物线的顶点M(-2,,1)∴直线OD的解析式为y=x 于是设平移的抛物线的顶点坐标为(h, h), ∴平移的抛物线解析式为y=(x-h)2+h. ①当抛物线经过点C时,∵C(0,9),∴h2+h=9, 解得h=. ∴ 当 ≤h<时,平移的抛物线与射线CD只有一个公共点. ②当抛物线与直线CD只有一个公共点时, 由方程组y=(x-h)2+h,y=-2x+9. 得 x2+(-2h+2)x+h2+h-9=0,∴△=(-2h+2)2-4(h2+h-9)=0, 解得h=4. 此时抛物线y=(x-4)2+2与射线CD唯一的公共点为(3,3),符合题意. 综上:平移的抛物线与射线CD只有一个公共点时,顶点横坐标的值或取值范围是 h=4或 ≤h<. (3)方法1将抛物线平移,当顶点至原点时,其解析式为y=x2, 设EF的解析式为y=kx+3(k≠0). 假设存在满足题设条件的点P(0,t),如图,过P作GH∥x轴,分别过E,F作GH的垂线,垂足为G,H.∵△PEF的内心在y轴上,∴∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP,∴△GEP∽△HFP,...............9分∴GP/PH=GE/HF, ∴-xE/xF=(yE-t)/(yF-t)=(kxE+3-t)/(kxF+3-t) ∴2kxE·xF=(t-3)(xE+xF) 由y=x2,y=-kx+3.得x2-kx-3=0. ∴xE+xF=k,xE·xF=-3.∴2k(-3)=(t-3)k,∵k≠0,∴t=-3.∴y轴的负半轴上存在点P(0,-3),使△PEF的内心在y轴上. 方法2 设EF的解析式为y=kx+3(k≠0),点E,F的坐标分别为(m,m2)(n,n2)由方法1知:mn=-3.作点E关于y轴的对称点R(-m,m2),作直线FR交y轴于点P,由对称性知∠EPQ=∠FPQ,∴点P就是所求的点.由F,R的坐标,可得直线FR的解析式为y=(n-m)x+mn.当x=0,y=mn=-3,∴P(0,-3).∴y轴的负半轴上存在点P(0,-3),使△PEF的内心在y轴上. |
据专家权威分析,试题“(本题满分12分)如图1,抛物线y=ax2+bx+3经过A(-3,0),B(-1,0)两..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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