题文
(15分)如图所示,过点F(0,1)的直线y=kx+b与抛物线 交于M(x1, y1)和N(x2,y2)两点(其中x1<0,x2<0). (1)求b的值. (2)求x1?x2的值 (3)分别过M、N作直线l:y=-1的垂线,垂足分别是M1、N1,判断△M1FN1的形状, 并证明你的结论. (4)对于过点F的任意直线MN,是否存在一条定直线m,使m与以MN为直径的圆相 切.如果有,请求出这条直线m的解析式;如果没有,请说明理由. |
题型:解答题 难度:中档
答案
解:(1)把点F(0,1)坐标代入y=kx+b中得b="1. " ……(3分) (2)由y=x2和y=kx+1得x2-kx-1=0化简得 x1=2k-2 x2=2k+2 x1·x2="-4 " ……(6分) (3)△M1FN1是直角三角形(F点是直角顶点).理由如下:设直线l与y轴的交点是F1 FM12=FF12+M1F12=x12+4 FN12=FF12+F1N12=x22+4 M1N12=(x1-x2)2=x12+x22-2x1x2=x12+x22+8 ∴FM12+FN12=M1N12∴△M1FN1是以F点为直角顶点的直角三角形. ……(10分) (4)符合条件的定直线m即为直线l:y=-1. 过M作MH⊥NN1于H,MN2=MH2+NH2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+[(kx1+1)-(kx2+1)]2=(x1-x2)2+k2(x1-x2)2=(k2+1)(x1-x2)2=(k2+1)(4)2=16(k2+1)2 ∴MN=4(k2+1) 分别取MN和M1N1的中点P,P1,PP1=(MM1+NN1)= (y1+1+y2+1)= (y1+y2)+1=k(x1+x1)+2=2k2+2=2(k2+1) ∴PP1=MN 即线段MN的中点到直线l的距离等于MN长度的一半. ∴以MN为直径的圆与l相切. ……(15分) |
据专家权威分析,试题“(15分)如图所示,过点F(0,1)的直线y=kx+b与抛物线交于M(x1,y1)..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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