题文
如图10-1,已知抛物线y = 与x轴交于A、B两点,与y轴交于 点C,且OB=OC. (1)求抛物线的函数表达式;(2分) (2)若点P是线段AB上的一个动点(不与A、B重合),分别以AP、BP为一边,在直线AB的同侧作等边三角形APM和BPN,求△PMN的最大面积,并写出此时点P的坐标;(3分) (3)如图10-2,若抛物线的对称轴与x轴交于点D,F是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点,直线FD与y轴交于点E.是否存在点F,使△DOE与△AOC相似?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.(4分) |
题型:解答题 难度:中档
答案
(1)解:令x = 0得,y = 4,∴C(0,4) ∴OB=OC=4,∴B(4,0)…………………………………………1分 代入抛物线表达式得: 16a–8a + 4 = 0,解得a = ∴抛物线的函数表达式为………………………2分 (2)解:过点M作MG⊥x轴于G,过点N作NH⊥x轴于H,
设P(x,0),△PMN的面积为S,则 PG=,MG=,PH=,NH= ∴S= = = = …………………………3分 = ∵,∴当x=1时,S有最大值是………………4分 ∴△PMN的最大面积是,此时点P的坐标是(1,0)………………5分 (3)解:存在点F,使得△DOE与△AOC相似.有两种可能情况: ①△DOE∽△AOC;②△DOE∽△COA 由抛物线得:A(–2,0),对称轴为直线x = 1 ∴OA=2,OC=4,OD=1 ①若△DOE∽△AOC,则 ∴,解得OE=2 ∴点E的坐标是(0,2)或(0,–2) 若点E的坐标是(0,2),则直线DE为: 解方程组 得:,(不合题意,舍去) 此时满足条件的点F1的坐标为(,)……………………6分 若点E的坐标是(0,–2), 同理可求得满足条件的点F2的坐标为(,)…………7分 ②若△DOE∽△COA, 同理也可求得满足条件的点F3的坐标为(,)……………8分 满足条件的点F4的坐标为(,)………………………………9分 综上所述,存在满足条件的点F,点F的坐标为: F1(,)、F2(,)、F3(, 或F4(,). |
据专家权威分析,试题“如图10-1,已知抛物线y=与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OB=..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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