题文
在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),交y轴的正半轴于点C,其顶点为M,MH⊥x轴于点H,MA交y轴于点N,=. (1)求此抛物线的函数表达式; (2)过H的直线与y轴相交于点P,过O,M两点作直线PH的垂线,垂足分别为E,F,若 =时,求点P的坐标; (3)将(1)中的抛物线沿y轴折叠,使点A落在点D处,连接MD,Q为(1)中的抛物线上的一点直线NQ交x轴于点G,当Q点在抛物线上运动时,是否存在点Q,使△ANG 与△ADM相似?若存在,求出所有符合条件的直线QG的解析式;若不存在,请说明理由. |
题型:解答题 难度:偏易
答案
小题1:∵ M为抛物线的顶点, ∴M(2,c).∴OH=2,MH=|c|.∵a<0,且抛物线与x轴有交点, ∴c>0,∴MH=c. ∵sin∠MOH=,∴.∴OM=,∵, ∴MH=c=4.∴M(2,4). ∴抛物线的函数表达式为:. 小题2:如图1,∵OE⊥PH,MF⊥PH,MH⊥OH.∴∠EHO=∠FMH,∠OEH=∠HFM.∴△OEH∽△HFM.∴==.∵=,∴MF=HF.∴∠OHP=∠FHM=45°.∴OP=OH=2,∴P(0,2).如图2,同理可得,P(0,-2).
小题3:∵A(-1,0),∴D(1,0).∵M(2,4),D(1,0),∴MD:. ∵ON∥MH,∴△AON∽△AHM,∴,∴AN=,ON=,N(0,). 如图3,若△ANG ∽ △AMD,可得NG∥MD,∴QG:.如图4,若△ANG ∽ △ADM,可得,.∴AG=,∴G(,0),∴QG:; 综上所述,符合条件的所有直线QG的解析式为:或.……4分
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考点: 专题:综合题;存在型;数形结合. 分析:(1)由抛物线y=-(x-2)2+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),交y轴的正半轴于点C,其顶点为M,MH⊥x轴于点H,MA交y轴于点N,sin∠MOH= ,求出c的值,进而求出抛物线方程; (2)如图1,由OE⊥PH,MF⊥PH,MH⊥OH,可证△OEH∽△HFM,可知HE,HF的比例关系,求出P点坐标; (3)首先求出D点坐标,写出直线MD的表达式,由两直线平行,两三角形相似,可得NG∥MD,直线QG解析式. 解答:解:(1)∵M为抛物线y=-(x-2)2+c的顶点,∴M(2,c),∴OH=2,MH=|c|. ∵a<0,且抛物线与x轴有交点,∴c>0,∴MH=c,∵sin∠MOH=, ∴=.∴OM=c,∵OM2=OH2+MH2,∴MH=c=4,∴M(2,4), ∴抛物线的函数表达式为:y=-(x-2)2+4. (2)如图1,∵OE⊥PH,MF⊥PH,MH⊥OH, ∴∠EHO=∠FMH,∠OEH=∠HFM.∴△OEH∽△HFM, ∴=,∵,∴MF=HF,∴∠OHP=∠FHM=45°, ∴OP=OH=2,∴P(0,2).如图2,同理可得,P(0,-2).
(3)∵A(-1,0),∴D(1,0),∵M(2,4),D(1,0),∴直线MD解析式:y=4x-4, ∵ON∥MH,∴△AON∽△AHM,∴,∴AN=,ON=,N(0,). 如图3,若△ANG∽△AMD,可得NG∥MD,∴直线QG解析式:y=4x+, 如图4,若△ANG∽△ADM,可得∴AG=, ∴G(,0),∴QG:y=-x+, 综上所述,符合条件的所有直线QG的解析式为:y=4x+或y=-x+.
点评:本题二次函数的综合题,要求会求二次函数的解析式和两图象的交点,会应用三角形相似定理,本题步骤有点多,做题需要细心. |
据专家权威分析,试题“在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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