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已知关于x的二次函数y=x2-mx+m2+12与y=x2-mx-m2+22,这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A,B两个不同的点.(1)试判断哪个二次函数的图象经过A,B两点;(2)若A点坐标为(-1-数学

[db:作者]  2019-05-20 00:00:00  零零社区

题文

已知关于x的二次函数y=x2-mx+
m2+1
2
与y=x2-mx-
m2+2
2
,这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A,B两个不同的点.
(1)试判断哪个二次函数的图象经过A,B两点;
(2)若A点坐标为(-1,0),试求B点坐标;
(3)在(2)的条件下,对于经过A,B两点的二次函数,当x取何值时,y的值随x值的增大而减小.
题型:解答题  难度:中档

答案

(1)对于关于x的二次函数y=x2-mx+
m2+1
2

由于△=(-m)2-4×1×
m2+1
2
=-m2-2<0,
所以此函数的图象与x轴没有交点;
对于关于x的二次函数y=x2-mx-
m2+2
2

由于△=(-m)2-4×1×(-
m2+2
2
)=3m2+4>0
所以此函数的图象与x轴有两个不同的交点.
故图象经过A、B两点的二次函数为y=x2-mx-
m2+2
2

(2)将A(-1,0)代入y=x2-mx-
m2+2
2
,得1+m-
m2+2
2
=0.
整理,得-m2+2m=0.
解之,得m=0,或m=2.
当m=0时,y=x2-1.
令y=0,得x2-1=0.
解这个方程,得x1=-1,x2=1,
此时,B点的坐标是B(1,0);
当m=2时,y=x2-2x-3.
令y=0,得x2-2x-3=0.
解这个方程,得x1=-1,x2=3,
此时,B点的坐标是B(3,0).
(3)当m=0时,二次函数为y=x2-1,此函数的图象开口向上,对称轴为直线x=0,
所以当x<0时,函数值y随x的增大而减小.
当m=2时,二次函数为y=x2-2x-3=(x-1)2-4,此函数的图象开口向上,
对称轴为直线x=1,所以当x<1时,函数值y随x的增大而减小.

据专家权威分析,试题“已知关于x的二次函数y=x2-mx+m2+12与y=x2-mx-m2+22,这两个二次函..”主要考查你对  二次函数的定义,二次函数与一元二次方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

二次函数的定义二次函数与一元二次方程

考点名称:二次函数的定义

  • 定义:
    一般地,如果(a,b,c是常数,a≠0),那么y叫做x 的二次函数。
    ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
    ②二次函数(a≠0)中x、y是变量,a,b,c是常数,自变量x 的取值范围是全体实数,b和c可以是任意实数,a是不等于0的实数,因为a=0时,变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数,若b=0,则y=c是一个常数函数。
    ③二次函数(a≠0)与一元二次方程(a≠0)有密切联系,如果将变量y换成一个常数,那么这个二次函数就是一个一元二次函数。

  • 二次函数的解析式有三种形式:
    (1)一般式:(a,b,c是常数,a≠0);
    (2)顶点式: (a,h,k是常数,a≠0)
    (3)当抛物线与x轴有交点时,即对应二次好方程有实根x1和x2存在时,根据二次三项式的分解因式,二次函数可转化为两根式。如果没有交点,则不能这样表示。

    二次函数的一般形式的结构特征:
    ①函数的关系式是整式;
    ②自变量的最高次数是2;
    ③二次项系数不等于零。

  • 二次函数的判定:
    二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式;
    当b=0,c=0时,y=ax2是特殊的二次函数;
    判断一个函数是不是二次函数,在关系式是整式的前提下,如果把关系式化简整理(去括号、合并同类项)后,能写成(a≠0)的形式,那么这个函数就是二次函数,否则就不是。

考点名称:二次函数与一元二次方程

  • 二次函数与一元二次方程的关系:
    函数y=ax2+bx+c(a≠0),当y=0时,得到一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)。
    那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标,因此,二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
    1、从形式上看:
    二次函数:y=ax2+bx+c  (a≠0)
    一元二次方程:ax2+bx+c=0  (a≠0)
    2、从内容上看:
    二次函数表示的是一对(x,y)之间的关系,它有无数对解;一元二次方程表示的是未知数x的值,最多只有2个值
    3、相互关系:
    二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。
    如:y=x2-4x+3与x轴的交点是(1,0)、(3,0),则一元二次方程x2-4x+3=0的根是x=1或x=3

  • 二次函数交点与二次方程根的关系:
    抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明:
    1、若△>0,则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点---相交;
    2、若△=0,则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点---相切(顶点);
    3、若△<0,则一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点--相离。
    若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A(x1,0),B(x2,0),则x1+x2=-,x1x2=

  • 点拨:
    ①解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值,反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。
    ②若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2(x1<x2),则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为(x1,0),(x2,0),对称轴为x=x1+x2/2。
    ③若a>0,当x<x1,或x>x2时,y>0;当x1<x<x2时,y<0。
    若a< 0,当x1<x<x2时,y>0;当x<x1或x>x2时,y<0。
    ④如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于M(x1,0),N(x2,0),则MN=√b2-4ac/|a|。



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