题文
如图1,已知抛物线的顶点为A(O,1),矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上,D、E在轴上,CF交y轴于点B(0,2),且其面积为8. (1)求此抛物线的解析式; (2)如图2,若P点为抛物线上不同于A的一点,连结PB并延长交抛物线于点Q,过点P、Q分别作轴的垂线,垂足分别为S、R. ①求证:PB=PS; ②判断△SBR的形状; ③试探索在线段SR上是否存在点M,使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似,若存在,请找出M点的位置;若不存在,请说明理由.
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题型:解答题 难度:中档
答案
⑴解:方法一: ∵B点坐标为(0.2), ∴OB=2, ∵矩形CDEF面积为8, ∴CF=4. ∴C点坐标为(一2,2).F点坐标为(2,2)。 设抛物线的解析式为. 其过三点A(0,1),C(-2.2),F(2,2)。 得 解这个方程组,得
∴此抛物线的解析式为 ………… (3分) 方法二: ∵B点坐标为(0.2), ∴OB=2, ∵矩形CDEF面积为8, ∴CF=4. ∴C点坐标为(一2,2)。 ……… (1分) 根据题意可设抛物线解析式为。 其过点A(0,1)和C(-2.2) ……… 解这个方程组,得
此抛物线解析式为 (2)解:
①过点B作BN,垂足为N. ∵P点在抛物线y=十l上.可设P点坐标为. ∴PS=,OB=NS=2,BN=。 ∴PN=PS—NS= ………………………… (5分) 在RtPNB中. PB= ∴PB=PS=………………………… (6分) ②根据①同理可知BQ=QR。 ∴, 又∵ , ∴, 同理SBP=………………………… (7分) ∴ ∴ ∴. ∴ △SBR为直角三角形.………………………… (8分) ③方法一:
设, ∵由①知PS=PB=b.,。 ∴ ∴。………………………… (9分) 假设存在点M.且MS=,别MR= 。 若使△PSM∽△MRQ, 则有。 即 ∴。 ∴SR=2 ∴M为SR的中点.………………………… (11分) 若使△PSM∽△QRM, 则有。 ∴。 ∴。 ∴M点即为原点O。 综上所述,当点M为SR的中点时.PSM∽MRQ;当点M为原点时,PSM∽MRQ.………………………… (13分) 方法二: 若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似, ∵, ∴有PSM∽MRQ和PSM∽△QRM两种情况。 当PSM∽MRQ时.SPM=RMQ,SMP=RQM. 由直角三角形两锐角互余性质.知PMS+QMR=。 ∴。………………………… (9分) 取PQ中点为N.连结MN.则MN=PQ=.…………………… (10分) ∴MN为直角梯形SRQP的中位线, ∴点M为SR的中点 …………………… (11分) 当△PSM∽△QRM时,
又,即M点与O点重合。 ∴点M为原点O。 综上所述,当点M为SR的中点时,PSM∽△MRQ;当点M为原点时,PSM∽△QRM……… (13分) |
据专家权威分析,试题“如图1,已知抛物线的顶点为A(O,1),矩形CDEF的顶点C、F在抛物线..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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