题文
如图,直线与x轴、y轴分别相交于点B、点C,抛物线 经过B、C两点,与x轴的另一个交点为A,顶点为P,且抛物线的对称轴为.
小题1:求抛物线的函数表达式及顶点坐标; 小题2:连接AC,则在x轴上是否存在一点Q,使得以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出所有点Q的坐标;若不存在,请说明理由. |
题型:解答题 难度:中档
答案
小题1:在中,当时, ∴点C坐标为(0,3) 当时,有 ∴点B坐标为 …1分 ∴过B, 且对称轴为 ∴ …2分 解得: ∴抛物线的解根据析式为: …3分 由知: 顶点P的坐标为: …4分 小题2:在中,令,有: ∴ ∴点A坐标为 ∴ 在Rt△BOC中,OB=OC=3 ∴∠ABC=45° 令与轴交于点D.则D点坐标为 ∴在Rt△PBD中,PD="BD=1," ∠PBD=45° PB= 假设在轴上存在点Q,使得△PBQ与△PBC相似 ①若点Q在点B的右侧: (i)当,∠ABC=∠PBQ=45°时, △PBQ∽△CBA 此时,. ∴点Q的坐标为: …6分 (ii)当:, ∠ABC=∠PBQ="45°," △PBQ∽△ABC 此时,有:, BQ=3 此时点Q与点O重合,坐标为(0,0) …8分 ②若点Q在点B的左侧 则: ∠PBQ=180°-45°=135° 在Rt△AOC中, ∴∠OAC>45° ∴∠BAC<135° 而∠BAC为△ABC的最大内角. 此时△PBQ与△ABC不可能相似. …10分 综上所述:能使△PBQ与△ABC相似的符合条件的点Q有两种情况,坐标分别为:和(0,0) |
据专家权威分析,试题“如图,直线与x轴、y轴分别相交于点B、点C,抛物线经过B、C两点,..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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