题文
已知:抛物线与x轴交于 点A(x1,0)、B(x2,0),且x1<1<x2. 小题1:求A、B两点的坐标(用a表示); 小题2:设抛物线的顶点为C,求△ABC的面积; 小题3:若a是整数,P为线段AB上的一个动点(P点与A、B两点不重合), 在x轴上方作等边△APM和等边△BPN,记线段MN的中点为Q,求抛物线的 解析式及线段PQ的长的取值范围. |
题型:解答题 难度:中档
答案
小题1:∵抛物线与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0), ∴x1、x2是关于x的方程的解. 方程可简化为x2+2(a-1)x+(a2-2a)=0. 解方程,得x=-a或x=-a+2. ∵x1<x2,-a<-a+2, ∴x1=-a,x2=-a+2. ∴A、B两点的坐标分别为A(-a,0),B(-a+2,0). 小题2:∵AB=2,顶点C的纵坐标为 ∴△ABC的面积等于 小题3:x1<1<x2, ∴-a<1<-a+2. ∴-1<a<1. ∵a是整数, ∴a=0,所求抛物线的解析式为y= 解法一:此时顶点C的坐标为 如图,作CD⊥AB于D,连结CQ.
则AD=1, ∴∠BAC=60°. 由抛物线的对称性可知△ABC是等边三角形. 由△APM和△BPN是等边三角形,线段MN的中点为Q可得, 点M、N分别在AC和BC边上,四边形PMCN为平行四边形, C、Q、P三点共线,且 ∵点P在线段AB上运动的过程中,P与A、B两点不重合,
解法二:设点P的坐标为P(x,0)(0<x<2). 如图,作MM1⊥AB于M1,NN1⊥AB于N1.
∵△APM和△BPN是等边三角形,且都在x轴上方, ∴AM=AP=x,BN=BP=2-x, ∠MAP=60°,∠NBP=60°.
∴M、N两点的坐标分别为 可得线段MN的中点Q的坐标为 由勾股定理得 ∵点P在线段AB上运动的过程中,P与A、B两点不重合,0<x<2,
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据专家权威分析,试题“已知:抛物线与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),且x1<1<x2.小题1:求..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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