题文
如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线经过B点,且顶点在直线上.
小题1:求抛物线对应的函数关系式; 小题2:若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由 小题3:在(2)的条件下,连结BD,已知在对称轴上存在一点P,使得△PBD的周长最小.请求出点P的坐标. 小题4:在(2)、(3)的条件下,若点M是线段OB上的一个动点(与点O、B不重合),过点M作MN∥BD交x轴于点N,连结PM、PN,设OM的长为t,△PMN的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.S是否存在最大值?若存在,求出最大值并求此时M点的坐标;若不存在,请说明理由. |
题型:解答题 难度:中档
答案
小题1:∵抛物线经过B(0,4),∴,------1分
∵顶点在直线上,∴,, ∴所求函数关系式为: --------------------------------------2分 小题2:在Rt△ABO中,OA=3,OB=4,∴, ∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD=DA=AB=5, ∴C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0).---------------------------------3分 当时,,-----------------------------------------4分 当时,, ∴点C和点D在所求抛物线上.--------------------------------------------------5分 小题3:设CD与对称轴交于点P,则P为所求的点, --------------------------6分 设直线CD对应的函数关系式为, 则,解得:, ∴,---------------------7分 当时,,∴P(,),-------------------8分 小题4:∵MN∥BD,∴△OMN∽△OBD, ∴,,,---------------9分 设对称轴交x轴于点F,则, ∵,, ∴(-------------10分 由, ∴当时,S取得最大值为,-----------------11分 此时点M的坐标为(0,). |
此题考核二次函数的综合应用 (1) 通过B(0,4),顶点在直线上,求出函数关系式 (2) 通过勾股定理和菱形性质求出C、D两点的坐标,代入函数关系式求证 (3) 通过C、D两点的坐标, 求出直线CD对应的函数关系式,从而求出点P的坐标 通过△OMN∽△OBD,求得,再通过面积求得S与t的函数关系式,从而求得最大值和M点的坐标 |
据专家权威分析,试题“如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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