题文
如图,已知抛物线经过A(﹣2,0),B(﹣3,3)及原点O,顶点为C.
小题1:求抛物线的解析式 小题2:若点D在抛物线上,点E在抛物线的对称轴上,且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形,求点D的坐标 小题3:P是抛物线上的第一象限内的动点,过点P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P,使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. |
题型:解答题 难度:中档
答案
小题1:y=x2+2x 小题2:D1(1,3),D2(﹣3,3),(﹣1,﹣1); 小题3:存在,(,)或(3,15) |
解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),且过A(﹣2,0),B(﹣3,3),O(0,0),可得 , 解得. ∴抛物线的解析式为y=x2+2x; (2)①当AE为边时, ∵A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形, ∴DE=AO=2,则D在x轴方不可能, ∴D在x轴上方且DE=2, ∴D1(1,3),D2(﹣3,3); ②当AO为对角线时,则DE与AO互相平分, 因为点E在对称轴上,且线段AO的中点横坐标为﹣1, 由对称性知,符合条件的点D只有一个,与点C重合,即C(﹣1,﹣1) 故符合条件的点D有三个,分别是D1(1,3),D2(﹣3,3),C(﹣1,﹣1); (3)存在, ∵B(﹣3,3),C(﹣1,﹣1),根据勾股定理得:BO2=18,CO2=2,BC2=20, ∴BO2+CO2=BC2.∴△BOC是直角三角形.
假设存在点P,使以P,M,A为顶点的 三角形与△BOC相似, 设P(x,y),由题意知x>0,y>0,且y=x2+2x, ①若△AMP∽△BOC,则,即 x+2=3(x2+2x) 得:x1=,x2=﹣2(舍去). 当x=时,y=,即P(,). ②若△PMA∽△BOC,则,即:x2+2x=3(x+2) 得:x1=3,x2=﹣2(舍去) 当x=3时,y=15,即P(3,15). 故符合条件的点P有两个,分别是P(,)或(3,15). |
据专家权威分析,试题“如图,已知抛物线经过A(﹣2,0),B(﹣3,3)及原点O,顶点为C.小题1..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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