题文
如图,在直角坐标系中,梯形ABCD的底边AB在x轴上,底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为,点A、D的坐标分别为(-4,0),(0,4). 动点P从A点出发,在AB边上匀速运动. 动点Q从点B出发,在折线BCD上匀速运动,速度均为每秒1个单位长度. 当其中一个动点到达终点时,另一动点也停止运动. 设点P运动t(秒)时,△OPQ的面积为S(不能构成△OPQ的动点除外).
小题1:求出点C的坐标 小题2:求S随t变化的函数关系式; 小题3:当t为何值时,S有最大值?并求出这个最大值 |
题型:解答题 难度:中档
答案
小题1:把y=4代入y=-x+,得x=1. ∴C点的坐标为(1,4). 小题2:当y=0时,-x+=0, ∴x=4.∴点B坐标为(4,0). 过点C作CM⊥AB于M,则CM=4,BM=3. ∴BC===5. ∴sin∠ABC==. ① 0<t<4时,过Q作QN⊥OB于N, ② 则QN=BQ·sin∠ABC=t. ∴S=OP·QN=(4-t)×t =-t2+t(0<t<4). ……………2分 ②当4<t≤5时, 连接QO,QP,过点Q作QN⊥OB于N.
同理可得QN=t. ∴S=OP·QN=×(t-4)×t. =t2-t(4<t≤5). …………………………….3分 ③当5<t≤6时, 连接QO,QP. S=×OP×OD=(t-4)×4. =2t-8(5<t≤6). ……………………………….4分 S随t变化的函数关系式是. 小题3:①当0<t<4时,
∵-<0 当t==2时, S最大==. ……………………………5分 ②当4<t≤5时, S=t2-t,对称轴为t=-=2, ∵>0 ∴在4<t≤5时,S随t的增大而增大. ∴当t=5时,S最大=×52-×5=2. …………………………..6分 ③当5<t≤6时, 在S=2t-8中,∵2>0,∴S随t的增大而增大. ∴当t=6时,S最大=2×6-8=4. …………………………………………7分 ∴综合三种情况,当t=6时,S取得最大值,最大值是4. ………………………8分 |
(1)把y=4代入直线解析式,即可求得点C的坐标; (2)作垂线构建直角三角形,利用勾股定理和三角函数、面积的有关计算求得函数解析式,注意t的取值范围不同,S的解析式就不同。 (3)根据(2)中的三种情况,分别求出S的最大值。 |
据专家权威分析,试题“如图,在直角坐标系中,梯形ABCD的底边AB在x轴上,底边CD的端点D..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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