题文
如图①,OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为原点,点A在轴的正半轴上,点C在轴的正半轴上,OA=5,OC=4. (1)在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折,使点O落在BC边上的点E处,求D、E两点的坐标; (2)如图②,若AE上有一动点P(不与A、E重合)自A点沿AE方向向E点匀速运动,运动的速度为每秒1个单位长度,设运动的时间为秒,过P点作ED的平行线交AD于点M,过点M作AE的平行线交DE于点N.求四边形PMNE的面积S与时间之间的函数关系式;当取何值时,S有最大值?最大值是多少? (3)在(2)的条件下,当为何值时,以A、M、E为顶点的三角形为等腰三角形,并求出相应时刻点M的坐标. |
题型:解答题 难度:中档
答案
(1)依题意可知,折痕AD是四边形OAED的对称轴, ∴在Rt△ABE中,AE=AO=5,AB=4. BE==3. ∴CE=2. ∴E点坐标为(2,4). 在Rt△DCE中,DC2+CE2=DE2, 又∵DE=OD. ∴(4﹣OD)2+22=OD2. 解得:OD=. ∴D点坐标为(0,). (2)如图①∵PM∥ED, ∴△APM∽△AED. ∴, 又知AP=t,ED=,AE=5, PM=×=, 又∵PE=5﹣t. 而显然四边形PMNE为矩形. S矩形PMNE=PM?PE=×(5﹣t)=﹣t2+t; ∴S四边形PMNE=﹣(t﹣)2+, 又∵0<<5. ∴当t=时,S矩形PMNE有最大值. (3)(i)若以AE为等腰三角形的底,则ME=MA(如图①) 在Rt△AED中,ME=MA, ∵PM⊥AE, ∴P为AE的中点, ∴t=AP=AE=. 又∵PM∥ED, ∴M为AD的中点. 过点M作MF⊥OA,垂足为F,则MF是△OAD的中位线, ∴MF=OD=,OF=OA=, ∴当t=时,(0<<5),△AME为等腰三角形. 此时M点坐标为(,). (ii)若以AE为等腰三角形的腰,则AM=AE=5(如图②) 在Rt△AOD中,AD===. 过点M作MF⊥OA,垂足为F. ∵PM∥ED, ∴△APM∽△AED. ∴. ∴t=AP===2, ∴PM=t=. ∴MF=MP=,OF=OA﹣AF=OA﹣AP=5﹣2, ∴当t=2时,(0<2<5),此时M点坐标为(5﹣2,). 综合(i)(ii)可知,t=或t=2时,以A,M,E为顶点的三角形为等腰三角形, 相应M点的坐标为(,)或(5﹣2,). |
(1)根据折叠的性质可知:AE=OA,OD=DE,那么可在直角三角形ABE中,用勾股定理求出BE的长,进而可求出CE的长,也就得出了E点的坐标. 在直角三角形CDE中,CE长已经求出,CD=OC﹣OD=4﹣OD,DE=OD,用勾股定理即可求出OD的长,也就求出了D点的坐标. (2)很显然四边形PMNE是个矩形,可用时间t表示出AP,PE的长,然后根据相似三角形APM和AED求出PM的长,进而可根据矩形的面积公式得出S,t的函数关系式,根据函数的性质即可得出S的最大值及对应的t的值. (3)本题要分两种情况进行讨论: ①ME=MA时,此时MP为三角形ADE的中位线,那么AP=,据此可求出t的值,过M作MF⊥OA于F,那么MF也是三角形AOD的中位线,M点的横坐标为A点横坐标的一半,纵坐标为D点纵坐标的一半.由此可求出M的坐标. ②当MA=AE时,先在直角三角形OAD中求出斜边AD的长,然后根据相似三角形AMP和ADE来求出AP,MP的长,也就能求出t的值.根据折叠的性质,此时AF=AP,MF=MP,也就求出了M的坐标.
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据专家权威分析,试题“如图①,OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为原点,点..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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