题文
如图,矩形OABC的两边在坐标轴上,连接AC,抛物线经过A,B两点。
(1)求A点坐标及线段AB的长; (2)若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动,1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO,OC,CB边向点B移动,当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动,点P的移动时间为t秒。 ①当PQ⊥AC时,求t的值; ②当PQ∥AC时,对于抛物线对称轴上一点H,∠HOQ>∠POQ,求点H的纵坐标的取值范围。 |
题型:解答题 难度:中档
答案
解:(1)由抛物线知:当x=0时,y=﹣2,∴A(0,﹣2)。 ∵四边形OABC是矩形,∴AB∥x轴,即A、B的纵坐标相同。 当y=﹣2时,,解得。∴B(4,﹣2)。 ∴AB=4。 (2)①由题意知:A点移动路程为AP=t,Q点移动路程为7(t-1)="7" t -7。 当Q点在OA上时,即,时, 如图1,若PQ⊥AC, 则有Rt△QAP∽Rt△ABC。 ∴,即,解得。 ∵,∴此时t值不合题意。 当Q点在OC上时,即,时, 如图2,过Q点作QD⊥AB。 ∴AD=OQ=7(t﹣1)﹣2=7t﹣9。 ∴DP=t﹣(7t﹣9)=9﹣6t。 若PQ⊥AC,则有Rt△QDP∽Rt△ABC, ∴,即,解得。 ∵,∴符合题意。 当Q点在BC上时,即,时, 如图3,若PQ⊥AC,过Q点作QG∥AC, 则QG⊥PG,即∠GQP=90°。 ∴∠QPB>90°,这与△QPB的内角和为180°矛盾, 此时PQ不与AC垂直。 综上所述,当时,有PQ⊥AC。 ②当PQ∥AC时,如图4, △BPQ∽△BAC,∴, ∴,解得t=2。 即当t=2时,PQ∥AC。此时AP=2,BQ=CQ=1。 ∴P(2,﹣2),Q(4,﹣1)。 抛物线对称轴的解析式为x=2, 当H1为对称轴与OP的交点时,有∠H1OQ=∠POQ, ∴当yH<﹣2时,∠HOQ>∠POQ。 作P点关于OQ的对称点P′,连接PP′交OQ于点M,过P′作P′N垂直于对称轴,垂足为N,连接OP′, 在Rt△OCQ中,∵OC=4,CQ=1。∴OQ=, ∵S△OPQ=S四边形ABCD﹣S△AOP﹣S△COQ﹣S△QBP=3=OQ×PM, ∴PM=。∴PP′=2PM=。 ∵NPP′=∠COQ。∴Rt△COQ∽△Rt△NPP′。 ∴,即,解得 ,。 ∴P′()。∴直线OP′的解析式为。 ∴OP′与NP的交点H2(2,)。 ∴当时,∠HOP>∠POQ。 综上所述,当或时,∠HOQ>∠POQ。 (1)已知抛物线的解析式,将x=0代入即可得A点坐标;由于四边形OABC是矩形,那么A、B纵坐标相同,代入该纵坐标可求出B点坐标,则AB长可求。 (2)①Q点的位置可分:在OA上、在OC上、在CB上 三段来分析,若PQ⊥AC时,很显然前两种情况符合要求,首先确定这三段上t的取值范围,然后通过相似三角形(或构建相似三角形),利用比例线段来求出t的值,然后由t的取值范围将不合题意的值舍去。 ②当PQ∥AC时,△BPQ∽△BAC,通过比例线段求出t的值以及P、Q点的坐标,可判定P点在抛物线的对称轴上,若P、H1重合,此时有∠H1OQ=∠POQ。若作P点关于OQ的对称点P′,OP′与NP的交点H2,亦可得到∠H2OQ=∠POQ,而题目要求的是∠HOQ>∠POQ,那么H1点以下、H2点以上的H点都是符合要求的。 |
据专家权威分析,试题“如图,矩形OABC的两边在坐标轴上,连接AC,抛物线经过A,B两点。..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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