题文
如图1,抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A(-3,0),B(-1,0),与y轴相交于点C,⊙O1为△ABC的外接圆,交抛物线于另一点D. (1)求抛物线的解析式; (2)求cos∠CAB的值和⊙O1的半径; (3)如图2,抛物线的顶点为P,连接BP,CP,BD,M为弦BD中点,若点N在坐标平面内,满足△BMN∽△BPC,请直接写出所有符合条件的点N的坐标. |
题型:解答题 难度:中档
答案
(1)y=x2+4x+3(2),(3)(,)或(,) |
解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A(-3,0),B(-1,0), ∴,解得。∴抛物线的解析式为:y=x2+4x+3。 (2)由(1)知,抛物线解析式为:y=x2+4x+3, ∵令x=0,得y=3,∴C(0,3)。 ∴OC=OA=3,则△AOC为等腰直角三角形。 ∴∠CAB=45°,∴cos∠CAB=。 在Rt△BOC中,由勾股定理得:BC=。 如图1所示,连接O1B、O1C, 由圆周角定理得:∠BO1C=2∠BAC=90°。 ∴△BO1C为等腰直角三角形, ∴⊙O1的半径O1B=。 (3)点N的坐标为(,)或(,)。 (1)利用待定系数法求出抛物线的解析式; (2)如答图1所示,由△AOC为等腰直角三角形,确定∠CAB=45°,从而求出其三角函数值;由 圆周角定理,确定△BO1C为等腰直角三角形,从而求出半径的长度。 (3)如答图2所示,首先利用圆及抛物线的对称性求出点D坐标,从而求出点M的坐标和线段 BM的长度;点B、P、C的坐标已知,求出线段BP、BC、PC的长度;然后利用△BMN∽△BPC相似三角形比例线段关系,求出线段BN和MN的长度;最后利用勾股定理,列出方程组,求出点N的坐标。 ∵抛物线y=x2+4x+3=(x+2)2-1, ∴顶点P坐标为(-2,-1),对称轴为x= -2。 又∵A(-3,0),B(-1,0),可知点A、B关于对称轴x=2对称。 如图2所示, 由圆及抛物线的对称性可知:点D、点C(0,3)关于对称轴对称。 ∴D(-4,3)。 又∵点M为BD中点,B(-1,0),∴M()。 ∴BM=。 在△BPC中,B(-1,0),P(-2,-1),C(0,3), 由勾股定理得:BP=,BC=,PC=。 ∵△BMN∽△BPC, ∴,即。 解得:BN=,MN。 设N(x,y),由勾股定理可得: ,解得,,。 ∴点N的坐标为(,)或(,))。 |
据专家权威分析,试题“如图1,抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A(-3,0),B(-1,0),与y轴..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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