题文
如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点O,交x轴于点A,其顶点B的坐标为(3,﹣). (1)求抛物线的函数解析式及点A的坐标; (2)在抛物线上求点P,使S△POA=2S△AOB; (3)在抛物线上是否存在点Q,使△AQO与△AOB相似?如果存在,请求出Q点的坐标;如果不存在,请说明理由. |
题型:解答题 难度:中档
答案
(1),(6,0)(2)P1(3+,2),P2(3﹣,2)(3)存在,Q点的坐标(9,3),(﹣3,3) |
解:(1)由函数图象经过原点得,函数解析式为y=ax2+bx(a≠0), 又∵函数的顶点坐标为(3,﹣), ∴,解得:。 ∴函数解析式为:。 由二次函数图象的对称性可得点A的坐标为(6,0)。 (2)∵S△POA=2S△AOB, ∴点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍,即点P的纵坐标为2。 代入函数解析式得:,解得:x1=3+,x2=3﹣。 ∴满足条件的有两个,P1(3+,2),P2(3﹣,2)。 (3)存在。 过点B作BP⊥OA, 则tan∠BOP=tan∠BAP=。 ∴∠BOA=30°。 设Q1坐标为(x,),过点Q1作Q1F⊥x轴, ∵△OAB∽△OQ1A,∴∠Q1OA=30°, ∴OF=Q1F,即x=,解得:x=9或x=0(舍去)。 ∴Q1坐标为(9,3), 根据函数的对称性可得Q2坐标为(﹣3,3)。 ∴Q点的坐标(9,3),(﹣3,3)。 (1)根据函数经过原点,可得c=0,然后根据函数的对称轴,及函数图象经过点(3,﹣)可得出函数解析式,根据二次函数的对称性可直接得出点A的坐标。 (2)根据题意可得点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍,即点P的纵坐标为2,代入函数解析式可得出点P的横坐标。 (3)先求出∠BOA的度数,然后可确定∠Q1OA=的度数,继而利用解直角三角形的知识求出x,得出Q1的坐标,利用二次函数图象函数的对称性可得出Q2的坐标。 |
据专家权威分析,试题“如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点O,交x轴于点A,..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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