题文
如图,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与双曲线相交于点A,B,且抛物线经过坐标原点,点A的坐标为(﹣2,2),点B在第四象限内,过点B作直线BC∥x轴,点C为直线BC与抛物线的另一交点,已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍,记抛物线顶点为E. (1)求双曲线和抛物线的解析式; (2)计算△ABC与△ABE的面积; (3)在抛物线上是否存在点D,使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由. |
题型:解答题 难度:中档
答案
(1),(2)15, (3) D的坐标为(3,﹣18)或(﹣4,﹣4) |
解:(1)∵点A(﹣2,2)在双曲线上, ∴k=﹣4。 ∴双曲线的解析式为。 ∵BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍, ∴设B点坐标为(m,﹣4m)(m>0)代入双曲线解析式得m=1。 ∴抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过点A(﹣2,2)、B(1,﹣4)、O(0,0)。 ∴,解得:。 ∴抛物线的解析式为。 (2)∵抛物线的解析式为, ∴顶点E(),对称轴为x=。 ∵B(1,﹣4),∴﹣x2﹣3x=﹣4,解得:x1=1,x2=﹣4。 ∴C(﹣4,﹣4)。 ∴S△ABC=×5×6=15, 由A、B两点坐标为(﹣2,2),(1,﹣4)可求得直线AB的解析式为:y=﹣2x﹣2。 设抛物线的对称轴与AB交于点F,则F点的坐标为(,1)。 ∴EF=。∴S△ABE=S△AEF+S△BEF=××3=。 (3)S△ABE=,∴8S△ABE=15。 ∴当点D与点C重合时,显然满足条件, 当点D与点C不重合时,过点C作AB的平行线CD, 其直线解析式为y=﹣2x﹣12。 令﹣2x﹣12=﹣x2﹣3x,解得x1=3,x2=﹣4(舍去)。 当x=3时,y=﹣18,故存在另一点D(3,﹣18)满足条件。 综上所述,可得点D的坐标为(3,﹣18)或(﹣4,﹣4)。 (1)将点A的坐标代入双曲线方程即可得出k的值,设B点坐标为(m,﹣4m)(m>0),根据双曲线方程可得出m的值,然后分别得出了A、B、O的坐标,利用待定系数法求解二次函数解析式即可。 (2)根据点B的坐标,结合抛物线方程可求出点C的坐标,从而可得出△ABC的面积。先求出AB的解析式,然后求出点F的坐标,及EF的长,从而根据S△ABE=S△AEF+S△BEF可得△ABE的面积。 (3)先确定符合题意的△ABD的面积,从而可得出当点D与点C重合时,满足条件;当点D与点C不重合时,过点C作AB的平行线CD,则可求出其解析式,求出其与抛物线的交点坐标即可得出点D的坐标。 |
据专家权威分析,试题“如图,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与双曲线相交于点A,B,且抛物线经过..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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