题文
如图,抛物线与x轴交于A.B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点C与点F关于抛物线的对称轴对称,直线AF交y轴于点E,|OC|:|OA|=5:1. (1)求抛物线的解析式; (2)求直线AF的解析式; (3)在直线AF上是否存在点P,使△CFP是直角三角形?若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由. |
题型:解答题 难度:偏易
答案
(1)y=x2﹣4x﹣5(2)y=﹣x﹣1 (3) 直线AF上存在点P(0,﹣1)或(0,﹣1)使△CFP是直角三角形 |
解:(1)在y=x2﹣bx﹣5中令x=0,得y=5,∴|OC|=5。 ∵|OC|:|OA|=5:1,∴|OA|=1。∴A(﹣1,0)。 把A(﹣1,0)代入y=x2﹣bx﹣5得(﹣1)2+b﹣5=0,解得b=4。 ∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x﹣5。 (2)∵y=x2﹣4x﹣5=(x﹣2)2﹣9,∴抛物线的的对称轴为x=2。 ∵点C与点F关于对称轴对称,C(0,﹣5)∴F(4,﹣5)。 设直线AF的解析式为y=kx+b, 把F(4,﹣5),A(﹣1,0),代入y=kx+b,得 ,解得。∴直线FA的解析式为y=﹣x﹣1。 (3)存在。理由如下: ①当∠FCP=90°时,点P与点E重合, ∵点E是直线y=﹣x﹣1与y轴的交点,∴E(0,﹣1)。∴P(0,﹣1)。 ②当CF是斜边时,过点C作CP⊥AF于点P。 设P(x1,﹣x1﹣1), ∵∠ECF=90°,E(0,﹣1),C(0,﹣5),F(4,﹣5), ∴CE=CF。∴EP=PF。∴CP=PF。 ∴点P在抛物线的对称轴上。∴x1=2。 把x1=2代入y=﹣x﹣1,得y=﹣3。∴P(2,﹣3)。 综上所述,直线AF上存在点P(0,﹣1)或(0,﹣1)使△CFP是直角三角形。 (1)根据抛物线解析式求出OC的长度,再根据比例求出OA的长度,从而得到点A的坐标,然后把点A的坐标代入抛物线解析式计算求出b,即可得到抛物线解析式。 (2)由y=x2﹣4x﹣5=(x﹣2)2﹣9可得对称轴为x=2,根据点C、F关于对称轴对称可得点F的坐标,然后利用待定系数法求直线函数解析式求解即可。 (3)分①点P与点E重合和②CF是斜边两种情况讨论即可。 |
据专家权威分析,试题“如图,抛物线与x轴交于A.B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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