题文
如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点A、C在x轴上,点B坐标为(3,m)(m>0),线段AB与y轴相交于点D,以P(1,0)为顶点的二次函数图象经过点B、D.
(1)用m的代数式表示点A、D的坐标; (2)求这个二次函数关系式; (3)点Q(x,y)为二次函数图象上点P至点B之间的一点,连接PQ、BQ,当x为何值时,四边形ABQP的面积最大? |
题型:解答题 难度:中档
答案
(1)A(3-m,0),D(0,m-3);(2)y=x2-2x+1;(3)当x=2时,四边形ABQP的面积最大为5. |
试题分析:(1)根据点C的坐标求出OC、BC的长度,再根据等腰直角三角形的两直角边相等可定的AC=BC,然后求出OA的长度,从而得到点A的坐标,再根据∠OAD=45°求出OD=OA,从而得到点D的坐标; (2)利用顶点式设出二次函数解析式,然后把点B、D的坐标代入,根据待定系数法求解即可; (3)根据抛物线解析式设出点Q的坐标,然后过点Q作QM⊥AC于点M,再根据S四边形ABQP=S△ABC-S△PQM-S梯形BCMQ,然后根据三角形的面积公式以及梯形的面积公式列式整理,再根据二次函数的最值问题求解即可. (1)由B(3,m)可知OC=3,BC=m, 又∵△ABC为等腰直角三角形, ∴AC=BC=m,OA=m-3, ∴点A的坐标是(3-m,0), ∵∠ODA=∠OAD=45°, ∴OD=OA=m-3, 则点D的坐标是(0,m-3); (2)又抛物线顶点为P(1,0),且过点B、D, 所以可设抛物线的解析式为:y=a(x-1)2, 将D,B坐标代入:a(3-1)2=m,a(0-1)2=m-3, 得:a=1,m=4, ∴抛物线的解析式为y=x2-2x+1, B坐标(3,4),A(-1,0); (3)如图,过点Q作QM⊥AC于点M,
设点Q的坐标是(x,x2-2x+1), 则PM=(x-1),QM=x2-2x+1,MC=(3-x), ∴S四边形ABQP=S△ABC-S△PQM-S梯形BCMQ
=-x2+4x+1 =-(x-2)2+5, 所以当x=2时,四边形ABQP的面积最大为5. 点评:本题是对二次函数的综合考查,点的坐标,等腰直角三角形的性质,待定系数法求函数解析式,二次函数的最值问题,以及三角形的面积,梯形的面积公式,难点在于用字母表示数,以及利用“割补法”求不规则图形的面积,需熟练掌握. |
据专家权威分析,试题“如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点A、C在x轴上,点B坐标为(3,m..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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