题文
如图,直线与轴、轴分别交于A、B两点,动点P从A点开始在线段AO上以每秒3个长度单位的速度向原点O运动. 动直线EF从轴开始以每秒1个长度单位的速度向上平行移动(即EF∥轴),并且分别与轴、线段AB交于E、F点.连结FP,设动点P与动直线EF同时出发,运动时间为t秒.
(1)当t=1秒时,求梯形OPFE的面积; (2)t为何值时,梯形OPFE的面积最大,最大面积是多少? (3)设t的值分别取t1、t2时(t1≠t2),所对应的三角形分别为△AF1P1和△AF2P2.试判断这两个三角形是否相似,请证明你的判断. |
题型:解答题 难度:中档
答案
试题分析:(1)先根据直线的性质求出A、B两点的坐标,再根据点A的移动规律,得到AP的长,从而求出OP的长;又因为EF=BE,用OB的长减去OE的长即可求出EF的长;从而利用梯形面积公式求出梯形OPFE面积; (2)设OE=t,AP=3t,利用梯形面积公式,将梯形面积转化为关于t的二次函数表达式,求二次函数的最大值即可; (3)作FD⊥x轴于D,则四边形OEFD为矩形.求出三角形各边的长度表达式,计算出对应边的比值,加上一个夹角相等,即可得到结果. 设梯形OPFE的面积为S. (1) A(20,0),B(0,20) ∴OA=OB=20,∠A=∠B=45° 当t=1时,OE=1,AP=3 ∴OP=17,EF=BE=19 ∴S=(OP+EF)·OE=18; (2) OE=t,AP=3t ∴OP=20-3t,EF=BE=20-t ∴S=(OP+EF)·OE=(20-3t +20-t)·t=-2t2+20t=-2(t-5)2+50 ∴当t="5" (在0<t<范围内)时,S最大值=50; (3) 作FD⊥x轴于D,则四边形OEFD为矩形
∴FD=OE=t,AF=FD=t,又AP=3t 当t=t1时,AF1=t1,AP1=3t1 当t=t2时,AF2=t2,AP2=3t2 ∴,又∠A=∠A ∴△AF1P1∽△AF2P2. 点评:解答本题的关键是熟记求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法,常用的是后两种方法. |
据专家权威分析,试题“如图,直线与轴、轴分别交于A、B两点,动点P从A点开始在线段AO上..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
|